Question

19．如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=AP=2CD=2．
（Ⅰ）若M是棱PB上一点，且BM=2PM，求证：PD∥平面MAC；
（Ⅱ） 若平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，求证：PA⊥平面ABCD；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求PC与平面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

分析 （I）连结BD交AC于点N，连结MN，利用△CDN∽△ABN可得$\frac{BM}{PM}=\frac{BN}{DN}$=2，于是MN∥PD，故而PD∥平面MAC；
（II）利用面面垂直的性质得出PA⊥AB，PA⊥AD，从而PA⊥平面ABCD；
（III）由（2）可知∠PCA为所求线面角，利用勾股定理得出AC，从而计算出tan∠PCA=$\frac{PA}{AC}$．

解答 证明：（Ⅰ）连结BD交AC于点N，连结MN
∵AB∥CD，
∴△CDN∽△ABN
∴$\frac{BN}{DN}=\frac{AB}{CD}=2$． 
∵BM=2PM，
∴$\frac{BM}{PM}=\frac{BN}{DN}$=2．
∴MN∥PD．
又MN?平面MAC，PD?平面MAC，
∴PD∥平面MAC．  
（Ⅱ）∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，AB⊥AD，AD?平面ABCD，
∴AD⊥平面PAB．∵PA?平面PAB，
∴AD⊥PA． 
同理可证AB⊥PA．
又AB?平面ABCD，AD?平面ABCD，AB∩AD=A，
∴PA⊥平面ABCD．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，PA⊥平面ABCD．
∴∠PCA为PC与平面ABCD所成的角． 
∵PA=AD=2，CD=1，
∴AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴tan∠PCA=$\frac{PA}{AC}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$．  
∴PC与平面ABCD所成角的正切值为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了线面平行，线面垂直的判定，线面角的计算，属于中档题．