Question

14．如图，在四棱锥A-BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，$AC=\sqrt{2}$，F为AD的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面ABC；
（Ⅱ）求证：AC⊥平面BCDE；
（Ⅲ）求直线AE与平面ABC所成角的正切值．

Answer 1

分析 （I）取AC的中点G，连结FG，BG，则可证明四边形BEFG是平行四边形，故而EF∥BG，于是EF∥平面ABC；
（II）取DC的中点H，连结BH，则可利用勾股定理计算出BC=$\sqrt{2}$，从而得出AC⊥BC，由面面垂直的性质得出AC⊥平面BCDE；
（III）过点E作EM⊥BC交BC的延长线于点M，连结AM，则可证EM⊥平面ABC，故而∠EAM为直线AE与平面ABC所成角，利用勾股定理计算EM，AM即可得出tan∠EAM．

解答 证明：（Ⅰ）取AC的中点G，连结FG，BG．
∵F是AD的中点，∴FG$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$CD，
又BE$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$CD，∴FG$\stackrel{∥}{=}$BE．
∴四边形BEFG为平行四边形．
∴EF∥BG，又EF?平面ABC，BG?平面ABC．
∴EF∥平面ABC．
（Ⅱ）取DC的中点H，连结BH，
∵∠CDE=∠BED=90°，BE∥DH，BE=DH=DE=1，
∴四边形BEDH是正方形，∴BH=CH=1，BH⊥CH，
∴BC=$\sqrt{2}$，又AC=$\sqrt{2}$，AB=2，
∴AB²=AC²+BC²，∴AC⊥BC．
∵平面ABC⊥平面BCDE，平面ABC∩平面BCDE=BC，AC?平面ABC，
∴AC⊥平面BCDE．
（Ⅲ）过点E作EM⊥BC交BC的延长线于点M，连结AM，
因为平面ABC⊥平面BCDE，平面ABC∩平面BCDE=BC，EM?平面BCDE，
∴EM⊥平面ABC，
∴∠EAM为直线AE与平面ABC所成角，
∵∠HBC=45°，∠EBH=90°，∴∠EBM=45°．
∵BE=1，∠EMB=90°，∴EM=BM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴AM=$\sqrt{M{C}^{2}+A{C}^{2}}$=$\frac{\sqrt{26}}{2}$，
∴tan∠EAM=$\frac{EM}{AM}$=$\frac{\sqrt{13}}{13}$．

点评 本题考查了线面平行，线面垂直的判定，面面垂直的性质，线面角的计算，属于中档题．