Question

2．设f（x）=xlnx．
（1）求f′（x）；
（2）设0＜a＜b，求常数c，使得$\frac{1}{b-a}\int_a^b{|lnx-c|dx}$取得最小值；
（3）记（2）中的最小值为Ma，b，证明Ma，b＜ln2．

Answer 1

分析 （1）根据复合函数的求导法则求出函数的导数即可；
（2）先求出$\frac{1}{b-a}\int_a^b{|lnx-c|dx}$的值，构造函数g（c），通过求导求出满足条件的c的值即可；
（3）求出Ma，b，问题转化为证明$aln（1+\frac{b}{a}）＜bln2$即可，根据函数的单调性证出结论．

解答 解：（1）$f'（x）=lnx+x•\frac{1}{x}=lnx+1$；
（2）若c≤lna，则|lnx-c|=lnx-c，显然，当c=lna，lnx-c取最小；
若c≤lnb，则|lnx-c|=c-lnx，当c=lnb，c-lnx取最小．
故lna≤c≤lnb；
.$\frac{1}{b-a}\int_a^b{|lnx-c|dx}=\frac{1}{b-a}[\int_a^{e^c}{（lnx-c}）dx+\int_{e^c}^b{（c-lnx）dx}]$
=$\frac{1}{b-a}\{\int_a^{e^c}{[（lnx+1）-（c+1）]dx}+\int_{e^c}^b{[（c+1）-（lnx+1）]dx}\}$，
由（1）知$\int_a^{e^c}{[（lnx+1）-（c+1）]dx}=xlnx|_a^{e^c}-（c+1）（{e^c}-a）$$\int_{e^c}^b{[（c+1）-（lnx+1）]dx}=（c+1）（{e^c}-a）-xlnx|_{e^c}^b$
所以，$\frac{1}{b-a}\int_a^b{|lnx-c|dx}=\frac{1}{b-a}（-alna-blnb-2{e^c}+a+b+ac-bc）…（*）$
记g（c）=-2e^c+（a+b）c-alna-blnb+a+b，
则令g'（c）=-2e^c+a+b=0，得e^c=$\frac{a+b}{2}$，
即e^c=$\frac{a+b}{2}$时，$\frac{1}{b-a}\int_a^b{|lnx-C|dx}$取最小值．
（3）将$c=\frac{a+b}{2}$代入（*）式右边，
$Ma，b=\frac{1}{b-a}[-alna-blnb+（a+b）ln\frac{a+b}{2}]＜ln2$，
等价于$（a+b）ln\frac{a+b}{2}-alna-blnb＜（b-a）ln2?（a+b）•ln（a+b）＜alna+blnb+2bln2$，$?aln（a+b）-alna+bln（a+b）-blnb＜2bln2?aln（1+\frac{b}{a}）+bln（\frac{a}{b}+1）＜2bln2$．
由于$0＜a＜b，\frac{a}{b}+1＜2$时，$bln（1+\frac{a}{b}）＜bln2$，
所以下面只须证明$aln（1+\frac{b}{a}）＜bln2$即可：
又$aln（1+\frac{b}{a}）＜bln2?\frac{a}{b}ln（1+\frac{b}{a}）＜ln2$．令$\frac{a}{b}=t∈（0，1）$，
则$\frac{a}{b}ln（1+\frac{b}{a}）=tln（1+\frac{1}{t}）=ln{（1+\frac{1}{t}）^t}$，
注意到函数$ln{（1+\frac{1}{t}）^t}$是单调递增的，且t＜1，
所以$ln{（1+\frac{1}{t}）^t}＜ln{（1+\frac{1}{1}）^1}=ln2$，得证．

点评 本题考查了函数求导问题，考查导数的应用，函数的单调性、最值问题以及定积分的求解，是一道综合题．