Question

13．设函数f（x）=x-alnx+$\frac{1-a}{x}$．
（Ⅰ）若a＞1，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若a＞3，函数g（x）=a²x²+3，若存在x₁，x₂∈[$\frac{1}{2}$，2]，使得|f（x₁）-g（x₂）|＜9成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定导函数的符号，从而求出函数的单调区间；
（Ⅱ）分别求出f（x）的最大值和g（x）的最小值，问题转化为g（$\frac{1}{2}$）-f（1）＜9，求出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），
f′（x）=$\frac{（x-1）[x-（a-1）]}{{x}^{2}}$，
令f′（x）=0，得x₁=1，x₂=a-1，（a＞1），
①当a-1＜1，即1＜a＜2时，函数f（x）在（0，a-1），（1，+∞）上单调递增，在（a-1，1）上单调递减；
②当a-1=1，即a=2时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
③当a-1＞1，即a＞2时，函数f（x）在（0，1），（a-1，+∞）上单调递增，在（1，a-1）上单调递减；
（Ⅱ）当a＞3，即a-1＞2时，函数f（x）在[$\frac{1}{2}$，1）上为增函数，在（1，2]上为减函数，
所以函数f（x）在x∈[$\frac{1}{2}$，2]上的最大值为f（1）=2-a＜0，
因为函数g（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上单调递增，
所以g（x）的最小值为g（$\frac{1}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$+3＞0，
所以g（x）＞f（x）在x∈[$\frac{1}{2}$，2]上恒成立，
要存在x₁，x₂∈[$\frac{1}{2}$，2]，使得|f（x₁）-g（x₂）|＜9成立，
只需要g（$\frac{1}{2}$）-f（1）＜9，
即$\frac{{a}^{2}}{4}$+3+a-2＜9，解得：-8＜a＜4，
又a＞3，所以a的取值范围是（3，4）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．