Question

8．若函数f（x）=$\frac{1}{3}$ax³-$\frac{1}{2}$（b+8）x²+2x（a＞0，b＜0）在区间[1，2]上单调递减，则（1-a）（b+1）的最大值为（　　）

• A． $\frac{9}{2}$
• B． 4
• C． 2
• D． 0

Answer 1

分析 求得f（x）的导数，由题意可得f′（x）≤0在区间[1，2]上恒成立，可得$\left\{\begin{array}{l}{a-b≤6}\\{2a-b≤7}\end{array}\right.$，作出不等式组在第四象限的可行域，再由目标函数表示的双曲线，结合直线与双曲线相切，求得导数，设出切点，解方程可得切点，进而得到所求最大值．

解答 解：函数f（x）=$\frac{1}{3}$ax³-$\frac{1}{2}$（b+8）x²+2x的导数为
f′（x）=ax²-（b+8）x+2，
由题意可得f′（x）≤0在区间[1，2]上恒成立，
即有$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）≤0}\\{f′（2）≤0}\end{array}\right.$，即为$\left\{\begin{array}{l}{a-b≤6}\\{2a-b≤7}\end{array}\right.$，（*）
以（a，b）为坐标，作出不等式组（*）在第四象限的可行域，如图．
令t=（1-a）（1+b），可得b=-1-$\frac{t}{a-1}$，
此函数的图象为双曲线，
当直线b=2a-7与双曲线b=-1-$\frac{t}{a-1}$相切时，t取得最大值，
设切点为（m，n），由b′=$\frac{t}{（a-1）^{2}}$，可得
2=$\frac{t}{（m-1）^{2}}$，n=2m-7=-1-$\frac{t}{m-1}$，
解得t=2，m=2，n=-3，
故选：C．

点评 本题考查导数的运用：判断单调性和运用，同时考查不等式组表示的平面区域，及目标函数的最值的求法，注意运用数形结合的思想方法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．