Question

3．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设F为椭圆C的左焦点，M为直线x=-3上任意一点，过F作MF的垂线交椭圆C于点P，Q．证明：OM经过线段PQ的中点N．（其中O为坐标原点）

Answer 1

分析 （I）由椭圆C的焦距为4，及等边三角形的性质和a²=b²+c²，求得a，b，即可求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设M（-3，m），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ的中点为N（x₀，y₀），k_MF=-m，设直线PQ的方程为x=my-2，代入椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，结合三点共线的方法：斜率相等，即可得证．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得c=2，
短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形，可得
a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•2b，即有a=$\sqrt{3}$b，a²-b²=4，
解得a=$\sqrt{6}$，b=$\sqrt{2}$，
则椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（Ⅱ）证明：设M（-3，m），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
PQ的中点为N（x₀，y₀），k_MF=-m，
由F（-2，0），可设直线PQ的方程为x=my-2，
代入椭圆方程可得（m²+3）y²-4my-2=0，
即有y₁+y₂=$\frac{4m}{3+{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{2}{3+{m}^{2}}$，
于是N（-$\frac{6}{3+{m}^{2}}$，$\frac{2m}{3+{m}^{2}}$），
则直线ON的斜率k_ON=-$\frac{m}{3}$，
又k_OM=-$\frac{m}{3}$，
可得k_OM=k_ON，
则O，N，M三点共线，即有OM经过线段PQ的中点．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆方程的运用，注意联立直线方程，运用韦达定理和中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题．