Question

12．已知函数f（x）=alnx（a＞0），e为自然对数的底数．
（1）若过点A（2，f（2））的切线斜率为2，求实数a的值；
（2）关于x的不等式$\frac{f（x）}{x-1}＞1$在区间（1，e）上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求函数的导数，根据函数导数和切线斜率之间的关系即可求实数a的值；（2）利用参数分离法结合导数的应用即可得到结论．

解答 解答：（1）函数的f（x）的导数f′（x）=$\frac{a}{x}$（a＞0），
∵过点A（2，f（2））的切线斜率为2，
∴f′（2）=$\frac{a}{2}$=2，解得a=4；
（2）由$\frac{f（x）}{x-1}$＞1，得：$\frac{alnx+1-x}{x-1}$＞0，
令h（x）=alnx+1-x，则h′（x）=$\frac{a}{x}$-1，
令h′（x）＞0，解得x＜a，
当a＞e时，h（x）在（1，e）是增函数，
所以h（x）＞h（1）=0，
当1＜a≤e时，h（x）在（1，a）上递增，（a，e）上递减，
∴只需h（x）≥0，即a≥e-1；
当a≤1时，h（x）在（1，e）上递减，则需h（e）≥0，
∵h（e）=a+1-e＜0不合题意；
综上，a≥e-1．

点评 本题主要考查导数的综合应用，要求熟练掌握导数的几何意义，函数单调性最值和导数之间的关系，考查学生的综合应用能力．