Question

1．已知函数f（x）=cos2x-sin2xsinφ-2cos2xsin²$\frac{φ}{2}$（0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的图象的一个对称中心为（$\frac{π}{6}$，0），则下列说法不正确的是（　　）

• A． 直线x=$\frac{5}{12}$π是函数f（x）的图象的一条对称轴
• B． 函数f（x）在[0，$\frac{π}{6}$]上单调递减
• C． 函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位可得到y=cos2x的图象
• D． 函数f（x）在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上的最小值为-1

Answer 1

分析 化简f（x）为一个三角函数，检验四个选项，只有C选项是错误的．

解答 解：∵f（x）=cos2x-sin2xsinφ-2cos2xsin²$\frac{φ}{2}$
=cos2xcosφ-sin2xsinφ
=cos（2x+φ），
∵图象的一个对称中心为（$\frac{π}{6}$，0），
∴f（$\frac{π}{6}$）=0，又0＜φ＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{6}$，
∴f（x）=cos（2x+$\frac{π}{6}$）
A选项中对称轴需满足2x+$\frac{π}{6}$=kπ，解得x=-$\frac{π}{12}$+$\frac{kπ}{2}$，（k∈Z），
∴当k=1时，对称轴为x=$\frac{5π}{12}$，故A选项正确．
B选项中在[0，$\frac{π}{6}$]上时，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，
余弦函数y=cosx在[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]是单调递减的．故B选项正确．
C选项中f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位可得到y=cos（2x-$\frac{π}{6}$）．
故C选项错误．
D选择中在[0，$\frac{π}{2}$]上，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
余弦函数y=cosx在[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]上最小值是-1．故D选项正确．
故选：C

点评 本题主要考查三角函数的化简，以及三角函数的平移，对称轴，单调性和最值．