Question

11．已知函数f（x）=3^x+λ•3^-x（λ∈R）
（1）当λ=-2时，求函数f（x）的零点；
（2）若函数f（x）为奇函数，求实数λ的值；
（3）若不等式$\frac{1}{2}$≤f（x）≤4在x∈[0，1]上恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令f（x）=0解出零点；（2）令f（0）=0解出λ，（3）令3^x=t，则不等式转化为$\frac{1}{2}$≤t+$\frac{λ}{t}$≤4在[1，3]上恒成立．令g（t）=t+$\frac{λ}{t}$，讨论g（t）在[1，3]上的单调性，令$\left\{\begin{array}{l}{{g}_{min}（t）≥\frac{1}{2}}\\{{g}_{max}（t）≤4}\end{array}\right.$解出λ的范围．

解答 解：（1）当λ=-2时，f（x）=3^x-2•3^-x，
令f（x）=0得（3^x）²-2=0，∴3^x=$\sqrt{2}$，
解得x=log₃$\sqrt{2}$．
即f（x）的零点为log₃$\sqrt{2}$．
（2）若f（x）是奇函数，则f（0）=0，
即1+λ=0，
∴λ=-1．
（3）∵$\frac{1}{2}$≤f（x）≤4，即$\frac{1}{2}$≤3^x+λ•3^-x≤4
设3^x=t，t＞0，∴$\frac{1}{2}$≤t+$\frac{λ}{t}$≤4在[1，3]上恒成立．
令g（t）=t+$\frac{λ}{t}$，则g′（t）=1-$\frac{λ}{{t}^{2}}$．
①若λ≤0，则g′（t）＞0，g（t）在[1，3]上是增函数，
∴g_max（t）=g（3）=3+$\frac{λ}{3}$，g_min（t）=g（1）=1+λ，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3+\frac{λ}{3}≤4}\\{1+λ≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得-$\frac{1}{2}$≤λ≤0．
②若λ＞0，令g′（t）=0得t=$\sqrt{λ}$．
当0＜t≤$\sqrt{λ}$时，g′（t）≤0，故g（t）在（0，$\sqrt{λ}$]是减函数，当t$＞\sqrt{λ}$时，g′（t）＞0，故g（t）在（$\sqrt{λ}$，0）上是增函数．
（i）若$\sqrt{λ}$≤1，即0≤λ≤1时，g（t）在[1，3]上为整函数，
∴g_max（t）=g（3）=3+$\frac{λ}{3}$，g_min（t）=g（1）=1+λ，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3+\frac{λ}{3}≤4}\\{1+λ≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得0＜λ≤1．
（ii）若1＜$\sqrt{λ}$＜3，即1＜λ＜9时，g（t）在[1，$\sqrt{λ}$]上是减函数，在（$\sqrt{λ}$，3]上是增函数，
∴g_min（t）=g（$\sqrt{λ}$）=2$\sqrt{λ}$，g_max（t）=g（1）=1+λ或g_max（t）=g（3）=3+$\frac{λ}{3}$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{λ}≥\frac{1}{2}}\\{1+λ≤4}\\{3+\frac{λ}{3}≤4}\end{array}\right.$，解得λ=3．
（iii）若$\sqrt{λ}$≥3，即λ≥9时，g（t）在[1，3]上为减函数，
∴g_max（t）=g（1）=1+λ，g_min（t）=g（3）=3+$\frac{λ}{3}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+λ≤4}\\{3+\frac{λ}{3}≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，方程组无解．
综上，λ的取值范围是[-$\frac{1}{2}$，1]∪{3}．

点评 本题考查了函数的零点，函数的单调性，函数恒成立问题的讨论，属于中档题．