Question

7．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，两焦点F₁、F₂在x轴上，上顶点B与F₁、F₂围成一个正三角，且椭圆C经过点（1，$\frac{3}{2}$）．
（1）求椭圆C的离心率e和标准方程；
（2）过右焦点F₂的直线l将△BF₁F₂平分成面积相等的两部分，求直线l被椭圆C截得的弦长．

Answer 1

分析 （1）△BF₁F₂是正三角形，可求得2c=a，即可求得离心率e及b²=3c²，将（1，$\frac{3}{2}$）代入椭圆方程：$\frac{{x}^{2}}{4{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{3{c}^{2}}=1$（c＞0），即可求得c的值，写出椭圆方程；
（2）求出B和F₁的坐标及BF₁的斜率k_BF1，求得直线l的方程直线方程及M和N的坐标，代入椭圆方程，求得关于x的一元二次方程，利用韦达定理求得x₁+x₂，x₁•x₂表达式，即可求得丨MN丨．

解答 解：（1）由题意，设椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）．
△BF₁F₂是正三角形，得F₁F₂=BF₁=BF₂，即2c=a，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$．…（2分）
b²=a²-c²=（2c）²-c²=3c²，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{3{c}^{2}}=1$（c＞0）．
又椭圆C经过点（1，$\frac{3}{2}$），
∴$\frac{1}{4{c}^{2}}+\frac{\frac{9}{4}}{3{c}^{2}}=1$．解得c²=1．…（4分）
故椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．…（5分）
（2）由题可知，直线l过F₂（1，0），且与BF₁垂直．
∵B（0，$\sqrt{3}$），F₁（-1，0），
∴k_BF1=$\sqrt{3}$．
于是k₁=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，直线l的方程为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-1）．…（7分）
设直线l与椭圆C交于M，N两点，且M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}（x-1）}\end{array}\right.$消去y，可得13x²-8x-32=0．…（9分）
由韦达定理，x₁+x_2⁼$\frac{8}{13}$，x₁•x_2⁼-$\frac{32}{13}$，…（10分）
丨MN丨=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+[-\frac{\sqrt{3}}{3}（{x}_{1}-1）+\frac{\sqrt{3}}{3}（{x}_{2}-1]^{2}}$，
=$\sqrt{\frac{4}{3}（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}$，…（11分）
=$\sqrt{\frac{4}{3}}$×$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，
=$\sqrt{\frac{4}{3}}$×$\sqrt{（\frac{8}{13}）^{2}-4×（-\frac{32}{13}）}$，
=$\frac{2}{\sqrt{3}}$×$\frac{24\sqrt{3}}{13}$，
=$\frac{48}{13}$．
∴丨MN丨=$\frac{48}{13}$．…（13分）

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式，注意运用代入法和中点坐标公式，考查直线方程和椭圆方程联立，运用两点的距离公式，属于中档题．