Question

4．关于函数$f（x）=3sin（2x-\frac{π}{3}）+1（x∈R）$，下列命题正确的是（　　）

• A． 由f（x₁）=f（x₂）=1可得x₁-x₂是π的整数倍
• B． y=f（x）的表达式可改写成$y=3cos（2x+\frac{π}{6}）+1$
• C． y=f（x）的图象关于点$（\frac{π}{6}，1）$对称
• D． y=f（x）的图象关于直线$x=\frac{3}{4}π$对称

Answer 1

分析 由条件利用诱导公式，正弦函数的图象和性质，判断各个选项是否正确，从而得出结论．

解答 解：对于函数$f（x）=3sin（2x-\frac{π}{3}）+1（x∈R）$，由f（x₁）=f（x₂）=1可得  sin（2x₁）=sin（2x₂）=0，
∴2x₁-2x₂是 π的整数，即x₁-x₂是$\frac{π}{2}$的整数倍，故A不正确．
函数f（x）=3sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1=3cos[$\frac{π}{2}$-（2x-$\frac{π}{3}$）]+1=3cos（$\frac{5π}{6}$-2x）+1=3cos（2x-$\frac{5π}{6}$）+1=-3cos（2x+$\frac{π}{6}$）+1，故B不正确．
对于函数$f（x）=3sin（2x-\frac{π}{3}）+1（x∈R）$，令x=$\frac{π}{6}$，可得f（x）=1，故y=f（x）的图象关于点$（\frac{π}{6}，1）$对称，故C正确．
令x=$\frac{3π}{4}$，求得函数f（x）=3sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1=3cos$\frac{7π}{6}$+1=-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$+1，不是函数的最值，故D错误，
故选：C．

点评 本题主要考查诱导公式，正弦函数的图象和性质应用，属于中档题．