Question

14．已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∠BCA=90°，AC=BC=2，A₁在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知BA₁⊥AC₁，CC₁的中点为E．
（1）求三棱锥E-C₁AB的体积；
（2）求二面角B-AE-A₁的大小的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取AB的中点F，则DF∥BC，以D为原点，DF、DC、DA₁所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出三棱锥E-C₁AB的体积；
（2）求出平面AA₁C₁C的一个法向量和平面ABE的一个法向量，利用向量法能求出二面角B-AE-A₁的大小的余弦值．

解答 解：（1）如图，取AB的中点F，则DF∥BC，
∵BC⊥AC，
∴DF⊥AC，
又A₁在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，
∴A₁D⊥ABC，
以D为原点，DF、DC、DA₁所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
设A₁D=t，则A（0，-1，0），C（0，1，0），B（2，1，0），
A₁（0，0，t），C₁（0，2，t），
$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（0，3，t），$\overrightarrow{B{A}_{1}}$=（-2，-1，t），
由$\overrightarrow{A{C}_{1}}•\overrightarrow{B{A}_{1}}$=-3+t²=0，得t=$\sqrt{3}$，从而AD=1，AA₁=2，
∴四边形AA₁C₁C为菱形，∠A₁AC=60°，设平面C₁AB的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
$\overrightarrow{AB}$=（2，2，0），C₁（0，2，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（0，3，$\sqrt{3}$），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{C}_{1}}=3y+\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=2x+2y=0}\end{array}\right.$，
取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，$\sqrt{3}$），
E（0，$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{AE}$=（0，$\frac{5}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴点E到平面C₁AB的距离d=$\frac{|\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AE}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵BC⊥平面C₁AB，
∴BC⊥CC₁，AB=BC₁=2$\sqrt{2}$，AC₁=2$\sqrt{3}$，
${S}_{△AB{C}_{1}}=\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}=\sqrt{15}$，
∴三棱锥E-C₁AB的体积V=$\frac{1}{3}$×d×${S}_{△AB{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{5}}{5}×\sqrt{15}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（2）平面AA₁C₁C的一个法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
设平面ABE的一个法向量为$\overrightarrow{p}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{AE}=\frac{5}{2}a+\frac{\sqrt{3}}{2}c=0}\\{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{AB}=2a+2b=0}\end{array}\right.$，
取a=1，得$\overrightarrow{p}$=（1，-1，$\frac{5\sqrt{3}}{3}$），
设平面ABE与平面AA₁C₁C夹角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{p}|}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{p}|}$=$\frac{1}{1×\sqrt{\frac{31}{3}}}=\frac{\sqrt{93}}{31}$．
∴二面角B-AE-A₁的大小的余弦值为$\frac{\sqrt{93}}{31}$．

点评 本题考查三棱锥的体积的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，是中档题．