Question

【题目】已知抛物线的方程为，过点的直线与抛物线相交于两点，分别过点作抛物线的两条切线和，记和相交于点.

（1）证明：直线和的斜率之积为定值；

（2）求证：点在一条定直线上.

Answer 1

【答案】（1）直线和的斜率之积为定值.（2）点在定直线上.

【解析】试题分析：（1）依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，与抛物线联立得，设的坐标分别为，根据求导得切线斜率，结合韦达定理即可证得；

（2）由点斜式写出直线和的方程，联立这两个方程，消去得整理得，注意到，所以，此时，从而得证.

试题解析：

解：（1）依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，

将其代入，消去整理得.

设的坐标分别为，

则.

将抛物线的方程改写为，求导得.

所以过点的切线的斜率是，过点的切线的斜率是，

故，

所以直线和的斜率之积为定值.

（2）设.因为直线的方程为，即，

同理，直线的方程为，

联立这两个方程，消去得，

整理得，注意到，所以.

此时.

由（1）知， ，所以 ，

所以点在定直线上.