【题目】已知函数f(x)=ax+x2﹣xlna(a>0,a≠1).
(Ⅰ)当a>1时,求证:函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;
(Ⅱ)若函数y=|f(x)﹣t|﹣1有三个零点,求t的值;
(Ⅲ)若存在x1 , x2∈[﹣1,1],使得|f(x1)﹣f(x2)|≥e﹣1,试求a的取值范围.
【答案】解:(Ⅰ)∵函数f(x)=ax+x2﹣xlna,∴f′(x)=axlna+2x﹣lna=2x+(ax﹣1)lna,
由于a>1,故当x∈(0,+∞)时,lna>0,ax﹣1>0,所以f′(x)>0,
故函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.
(Ⅱ)当a>0,a≠1时,因为f′(0)=0,且f(x)在(0,+∞)上单调递增,
故f′(x)=0有唯一解x=0.
所以x,f′(x),f(x)的变化情况如下表所示:
又函数y=|f(x)﹣t|﹣1有三个零点,所以方程f(x)=t±1有三个根,
即y=f(x)的图象与两条平行于x轴的两条直线y=t±1共有三个交点.
不妨取a>1,y=f(x)在(﹣∞,0)递减,在(0,+∞)递增,极小值f(0)=1也是最小值,
当x→±∞时,f(x)→+∞.
∵t﹣1<t+1,∴f(x)=t+1有两个根,f(x)=t﹣1只有一个根.
∴t﹣1=fmin(x)=f(0)=1,∴t=2.
(Ⅲ)因为存在x1 , x2∈[﹣1,1],使得|f(x1)﹣f(x2)|≥e﹣1,
所以当x∈[﹣1,1]时,|(f(x))max﹣(f(x))min|=(f(x))max﹣(f(x))min≥e﹣1,
由(Ⅱ)知,f(x)在[﹣1,0]上递减,在[0,1]上递增,
所以当x∈[﹣1,1]时,(f(x))min=f(0)=1,
(f(x))max=max{f(﹣1),f(1)},
而 ,
记 ,因为
(当t=1时取等号),
所以 在t∈(0,+∞)上单调递增,而g(1)=0,
所以当t>1时,g(t)>0;当0<t<1时,g(t)<0,
也就是当a>1时,f(1)>f(﹣1),当0<a<1时,f(1)<f(﹣1).
综合可得,①当a>1时,由f(1)﹣f(0)≥e﹣1,可得a﹣lna≥e﹣1,求得a≥e.
②当0<a<1时,由 ,
综上知,所求a的取值范围为(0, ]∪[e,+∞)
【解析】(Ⅰ)证明a>1时函数的导数大于0.(Ⅱ)先判断函数f(x)的极小值,再由y=|f(x)﹣t|﹣1有三个零点,所以方程f(x)=t±1有三个根,根据t﹣1应是f(x)的极小值,解出t.(Ⅲ)f(x)的最大值减去f(x)的最小值大于或等于e﹣1,由单调性知,f(x)的最大值是f(1)或f(﹣1),最小值f(0)=1,由f(1)﹣f(﹣1)的单调性,判断f(1)与f(﹣1)的大小关系,再由f(x)的最大值减去最小值f(0)大于或等于e﹣1求出a的取值范围.
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数,需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果
,那么函数
在这个区间单调递增;(2)如果
,那么函数
在这个区间单调递减;求函数
的极值的方法是:(1)如果在
附近的左侧
,右侧
,那么
是极大值(2)如果在
附近的左侧
,右侧
,那么
是极小值才能得出正确答案.
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【题目】在圆x2+y2=9上任取一点P,过点P作y轴的垂线段PD,D为垂足,当P为圆与y轴交点时,P与D重合,动点M满足 =2
;
(1)求点M的轨迹C的方程;
(2)抛物线C′的顶点在坐标原点,并以曲线C在y轴正半轴上的顶点为焦点,直线y=x+3与抛物线C′交于A、B两点,求线段AB的长.
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【题目】已知函数f(x)=x3+3x2﹣9x+m
(1)求函数f(x)=x3+3x2﹣9x+m的单调递增区间;
(2)若函数f(x)在区间[0,2]上的最大值12,求函数f(x)在该区间上的最小值.
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【题目】某公司研发出一款产品,批量生产前先在某城市销售30天进行市场调查.调查结果发现:日销量与天数
的对应关系服从图①所示的函数关系:每件产品的销售利润
与天数
的对应关系服从图②所示的函数关系.图①由抛物线的一部分(
为抛物线顶点)和线段
组成.
(Ⅰ)设该产品的日销售利润
,分别求出
,
,
的解析式,
(Ⅱ)若在30天的销售中,日销售利润至少有一天超过8500元,则可以投入批量生产,该产品是否可以投入批量生产,请说明理由.
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【题目】直线l过P(1,2),且A(2,3),B(4,﹣5)到l的距离相等,则直线l的方程是( )
A.4x+y﹣6=0
B.x+4y﹣6=0
C.3x+2y﹣7=0或4x+y﹣6=0
D.2x+3y﹣7=0或x+4y﹣6=0
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【题目】在平面直角坐标系中,已知曲线
的参数方程为
(
,
为参数).以坐标原点
为极点,
轴的正半轴为极轴,取相同的长度单位建立极坐标系,直线
的极坐标方程为
.
(1)当时,求曲线
上的点到直线
的距离的最大值;
(2)若曲线上的所有点都在直线
的下方,求实数
的取值范围.
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