Question

【题目】已知函数f（x）=x3+3x2﹣9x+m
（1）求函数f（x）=x3+3x2﹣9x+m的单调递增区间；
（2）若函数f（x）在区间[0，2]上的最大值12，求函数f（x）在该区间上的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=3x2+6x﹣9=3（x+3）（x﹣1），

令f′（x）＞0，得x＞1或x＜﹣3；

令f′（x）＜0，得﹣3＜x＜1．

∴函数f（x）的增区间为：（﹣∞，﹣3），（1，+∞）

（2）解：由（1）知，f′（x）=3x2+6x﹣9=3（x+3）（x﹣1），

令f′（x）=0，得x=1或x=﹣3（舍）．

当x在闭区间[0，2]变化时，f′（x），f（x）变化情况如下表

x	0	（0，1）	1	（1，2）	2
f′（x）		﹣	0	+
f（x）	m	单调递减	m﹣5	单调递增	2+m

∴当x=2时，f（x）取最大值f（x）max=f（2）=m+2，由已知m+2=12，得m=10．

当x=1时，f（x）取最小值f（x）min=f（1）=m﹣5=5

【解析】（1）求出函数的导函数，直接由导函数大于0求解不等式得答案；（2）由（1）可得f（x）在（0，2）上的单调性，求得极值，再求出f（0）、f（2）比较得答案．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减，以及对函数的最大(小)值与导数的理解，了解求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．