【题目】已知函数f(x)=x3+3x2﹣9x+m
(1)求函数f(x)=x3+3x2﹣9x+m的单调递增区间;
(2)若函数f(x)在区间[0,2]上的最大值12,求函数f(x)在该区间上的最小值.
【答案】
(1)解:f′(x)=3x2+6x﹣9=3(x+3)(x﹣1),
令f′(x)>0,得x>1或x<﹣3;
令f′(x)<0,得﹣3<x<1.
∴函数f(x)的增区间为:(﹣∞,﹣3),(1,+∞)
(2)解:由(1)知,f′(x)=3x2+6x﹣9=3(x+3)(x﹣1),
令f′(x)=0,得x=1或x=﹣3(舍).
当x在闭区间[0,2]变化时,f′(x),f(x)变化情况如下表
x | 0 | (0,1) | 1 | (1,2) | 2 |
f′(x) | ﹣ | 0 | + | ||
f(x) | m | 单调递减 | m﹣5 | 单调递增 | 2+m |
∴当x=2时,f(x)取最大值f(x)max=f(2)=m+2,由已知m+2=12,得m=10.
当x=1时,f(x)取最小值f(x)min=f(1)=m﹣5=5
【解析】(1)求出函数的导函数,直接由导函数大于0求解不等式得答案;(2)由(1)可得f(x)在(0,2)上的单调性,求得极值,再求出f(0)、f(2)比较得答案.
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识,掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果
,那么函数
在这个区间单调递增;(2)如果
,那么函数
在这个区间单调递减,以及对函数的最大(小)值与导数的理解,了解求函数
在
上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数
在
内的极值;(2)将函数
的各极值与端点处的函数值
,
比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】随着资本市场的强势进入,互联网共享单车“忽如一夜春风来”,遍布了一二线城市的大街小巷.为了解共享单车在市的使用情况,某调查机构借助网络进行了问卷调查,并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析,得到表格:(单位:人)
经常使用 | 偶尔或不用 | 合计 | |
30岁及以下 | 70 | 30 | 100 |
30岁以上 | 60 | 40 | 100 |
合计 | 130 | 70 | 200 |
(1)根据以上数据,能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用共享单车情况与年龄有关?
(2)现从所抽取的30岁以上的网友中利用分层抽样的方法再抽取5人.
(i)分别求这5人中经常使用、偶尔或不用共享单车的人数;
(ii)从这5人中,再随机选出2人赠送一件礼品,求选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率.
参考公式: ,其中
.
参考数据:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x)=ax+x2﹣xlna(a>0,a≠1).
(Ⅰ)当a>1时,求证:函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;
(Ⅱ)若函数y=|f(x)﹣t|﹣1有三个零点,求t的值;
(Ⅲ)若存在x1 , x2∈[﹣1,1],使得|f(x1)﹣f(x2)|≥e﹣1,试求a的取值范围.
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