【题目】设函数(
为自然对数的底数).
(1)当时,求
的最大值;
(2)当时,
恒成立,证明:
.
【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)见解析.
【解析】试题分析:(1)求出当 时,函数
的导数,求得增区间和减区间,即可得到极大值,即为最大值
;
(2)①当 时,
即
②当 时,
,分别求出右边函数的最值或值域,即可得证a=1.
试题解析:(1)当a=1时,f ′(x)=-ex+(1-x)ex=-xex.
当x>0时,f ′(x)<0,f (x)在(0,+∞)上单调递减;
当x<0时,f ′(x)>0,f (x)在(-∞,0)上单调递增.
故f (x)在x=0处取得最大值.
(2)①当x∈(-∞,0)时,<1(a-x)ex>x+1即a>x+
,
令g(x)=x+,g′(x)=1-
>0,则g(x)在(-∞,0)上是增函数,g(x)<g(0)=1,a≥1.
②当x∈(0,+∞)时,<1(a-x)ex<x+1,a<x+
,由①知g′(x)=
,
令h(x)=ex-x,h′(x)=ex-1>0,则h(x)>h(0)=1,g′(x)>0,g(x)>g(0)=1,a≤1.
故a=1.
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【题目】定义:如果函数y=f(x)在定义域内给定区间[a,b]上存在x0(a<x0<b),满足f(x0)= ,则称函数y=f(x)是[a,b]上的“平均值函数”,x0是它的一个均值点,例如y=|x|是[﹣2,2]上的平均值函数,0就是它的均值点,若函数f(x)=x2﹣mx﹣1是[﹣1,1]上的“平均值函数”,则实数m的取值范围是( )
A.[﹣1,1]
B.(0,2)
C.[﹣2,2]
D.(0,1)
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【题目】要得到函数y=3cosx的图象,只需将函数y=3sin(2x﹣ )的图象上所有点的( )
A.横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变),所得图象再向左平移
个单位长度
B.横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变),所得图象再向右平移
个单位长度
C.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象再向左平移 个单位长度
D.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象再向右平移 个单位长度
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【题目】某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件,在单位时间内每个技工加工的合格零件数的统计数据的茎叶图如图所示.已知两组技工在单位时间内加工的合格零件平均数都为9.
(1)分别求出m,n的值;
(2)分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件的方差 和
,并由此分析两组技工的加工水平.
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【题目】已知函数f(x)=ln(x﹣2)﹣ ,(a为常数且a≠0),若f(x)在x0处取得极值,且x0[e+2,e2+2],而f(x)≥0在[e+2,e2+2]上恒成立,则a的取值范围( )
A.a≥e4+2e2
B.a>e2+2e
C.a≥e2+2e
D.a>e4+2e2
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【题目】已知函数f(x)=x3+3x2﹣9x+m
(1)求函数f(x)=x3+3x2﹣9x+m的单调递增区间;
(2)若函数f(x)在区间[0,2]上的最大值12,求函数f(x)在该区间上的最小值.
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【题目】已知在直角坐标中,以
为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的参数方程为:
,曲线
的极坐标方程:
(1)写出和
的普通方程;
(2)若与
交于两点
,求
的值.
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