Question

【题目】已知函数，其中为常数.

（1）求函数的单调区间；

（2）若是的一条切线，求的值；

（3）已知为整数，若对任意，都有恒成立，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）若时，在上单调递增；若时， 在上递减，在上递增；（2）；（3）.

【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）设切点，利用导数的几何意义为直线斜率建立方程，从而求出a的值即可；

（3）分离参数k,构造函数利用导数分析其增减性，求出其最小值，问题转化为只需即可．

试题解析：（1）函数的定义域为.

若时，则，所以在上单调递增；

若时，则当时， ，当时， ，

所以在上递减，在上递增.

（2）设切点为则：

，解得.

（3）当时，对任意，都有恒成立等价于对恒成立.

令，则，

由（1）知，当时， 在上递增.

因为，所以在上存在唯一零点，

所以在上也存在唯一零点，设此零点为，则.

因为当时， ，当时， ，

所以在上的最小值为，所以

又因为，所以，所以.

又因为为整数且，所以的最大值是.