Question

【题目】已知函数f（x）=ln（x﹣2）﹣ ，（a为常数且a≠0），若f（x）在x0处取得极值，且x0[e+2，e2+2]，而f（x）≥0在[e+2，e2+2]上恒成立，则a的取值范围（ ）
A.a≥e4+2e2
B.a＞e2+2e
C.a≥e2+2e
D.a＞e4+2e2

Answer 1

【答案】D
【解析】解：由f（x）=ln（x﹣2）﹣ ，得f′（x）= （x＞2），令f′（x）=0，可得x0=1± ，∵f（x）在x0处取得极值，∴1+ ＞2，即a＞0．
∴函数在（2，1+ ）上单调增，在（1+ ，+∞）上单调减，
又x0[e+2，e2+2]，
∴函数在区间[e+2，e2+2]上是单调函数
∴ 或 ，
解得a＞e4+2e2 ．
∴a的取值范围是a＞e4+2e2 ．
故选：D．
【考点精析】通过灵活运用函数的最大(小)值与导数，掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值即可以解答此题．