【题目】已知函数f(x)=ax2﹣x+2a﹣1(a>0).
(1)若f(x)在区间[1,2]为单调增函数,求a的取值范围;
(2)设函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a),求g(a)的表达式;
(3)设函数 ,若对任意x1 , x2∈[1,2],不等式f(x1)≥h(x2)恒成立,求实数a的取值范围.
【答案】
(1)解:∵函数f(x)=ax2﹣x+2a﹣1(a>0)的图象是开口朝上,且以直线x= 为对称轴的抛物线,
若f(x)在区间[1,2]为单调增函数
则 ,
解得:
(2)解:①当0< <1,即a> 时,f(x)在区间[1,2]上为增函数,
此时g(a)=f(1)=3a﹣2
②当1≤ ≤2,即 时,f(x)在区间[1, ]是减函数,在区间[ ,2]上为增函数,
此时g(a)=f( )=
③当 >2,即0<a< 时,f(x)在区间[1,2]上是减函数,
此时g(a)=f(2)=6a﹣3
综上所述:
(3)解:对任意x1,x2∈[1,2],不等式f(x1)≥h(x2)恒成立,
即f(x)min≥h(x)max,
由(2)知,f(x)min=g(a)
又因为函数 ,
所以函数h(x)在[1,2]上为单调减函数,所以 ,
① 当 时,由g(a)≥h(x)max得: ,解得 ,(舍去)
②当 时,由g(a)≥h(x)max得: ,即8a2﹣2a﹣1≥0,
∴(4a+1)(2a﹣1)≥0,解得
所以
③当 时,由g(a)≥h(x)max得: ,解得 ,
所以a
综上所述:实数a的取值范围为
【解析】(1)若f(x)在区间[1,2]为单调增函数,则 ,解得a的取值范围;(2)分类讨论给定区间与对称轴的关系,分析出各种情况下g(x)的表达式,综合讨论结果,可得答案;(3)不等式f(x1)≥h(x2)恒成立,即f(x)min≥h(x)max , 分类讨论各种情况下实数a的取值,综合讨论结果,可得答案.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设函数g(x)=x2﹣2x+1+mlnx,(m∈R).
(1)当m=1时,求函数y=g(x)在点(1,0)处的切线方程;
(2)当m=﹣12时,求f(x)的极小值;
(3)若函数y=g(x)在x∈( ,+∞)上的两个不同的数a,b(a<b)处取得极值,记{x}表示大于x的最小整数,求{g(a)}﹣{g(b)}的值(ln2≈0.6931,ln3≈1.0986).
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知,分别是椭圆的左、右焦点.
(1)若点是第一象限内椭圆上的一点, ,求点的坐标;
(2)设过定点的直线与椭圆交于不同的两点,且为锐角(其中为坐标原点),求直线的斜率的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】要得到函数y=3cosx的图象,只需将函数y=3sin(2x﹣ )的图象上所有点的( )
A.横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变),所得图象再向左平移 个单位长度
B.横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变),所得图象再向右平移 个单位长度
C.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象再向左平移 个单位长度
D.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象再向右平移 个单位长度
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某客运公司用A,B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务,每车每天往返一次.A,B两种车辆的载客量分别为36人和60人,从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆.公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队,并要求B型车不多于A型车7辆.若每天要以不少于900人运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的营运成本最小,那么应配备A型车、B型车各多少辆?
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件,在单位时间内每个技工加工的合格零件数的统计数据的茎叶图如图所示.已知两组技工在单位时间内加工的合格零件平均数都为9.
(1)分别求出m,n的值;
(2)分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件的方差 和 ,并由此分析两组技工的加工水平.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x)=ln(x﹣2)﹣ ,(a为常数且a≠0),若f(x)在x0处取得极值,且x0[e+2,e2+2],而f(x)≥0在[e+2,e2+2]上恒成立,则a的取值范围( )
A.a≥e4+2e2
B.a>e2+2e
C.a≥e2+2e
D.a>e4+2e2
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com