Question

【题目】设函数g（x）=x2﹣2x+1+mlnx，（m∈R）．
（1）当m=1时，求函数y=g（x）在点（1，0）处的切线方程；
（2）当m=﹣12时，求f（x）的极小值；
（3）若函数y=g（x）在x∈（ ，+∞）上的两个不同的数a，b（a＜b）处取得极值，记{x}表示大于x的最小整数，求{g（a）}﹣{g（b）}的值（ln2≈0.6931，ln3≈1.0986）．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数y=g（x）=x2﹣2x+1+mlnx，g′（x）=2x﹣2+ ，k=g′（1）=1，

则切线方程为y=x﹣1，

故所求切线方程为x﹣y﹣1=0

（2）解：m=﹣12时，g（x）=）=x2﹣2x+1﹣12lnx，（x＞0），

g′（x）=2x﹣2﹣ = ，

令g′（x）＞0，解得：x＞3，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜3，

故g（x）在（0，3）递减，在（3，+∞）递增，

故g（x）极小值=g（3）=4﹣12ln3

（3）解：函数y=g（x）的定义域为（0，+∞），

g′（x）=2x﹣2+ = ，

令g′（x）=0并结合定义域得2x2﹣2x+m＞0．

①当△≤0，即m≥ 时，g′（x）≥0，则函数g（x）的增区间为（0，+∞）；

②当△＞0且m＞0，即0＜m＜ 时，函数g（x）的增区间为（0， ），（ ，+∞）；

③当△＞0且m≤0，即m≤0时，函数g（x）的增区间为（ ，+∞）；

故得0＜m＜ 时，a，b为方程2x2﹣2x+m=0的两相异正根， ＜b＜ ， ＜a＜ ，

又由2b2﹣2b+m=0，得m=﹣2b2+2b，

∴g（b）=b2﹣2b+1+mlnb=b2﹣2b+1+（﹣2b2+2b）lnb，b∈（ ， ），

g′（b）=2b﹣2+（﹣4b+2）lnb+2﹣2b=﹣4（b﹣ ）lnb，

当b∈（ ， ）时，g′（b）＞0，即函数g（b）是（ ， ）上的增函数．

故g（b）的取值范围是（ ， ），则{g（b）}=0．

同理可求得g（a）的取值范围是（ ， ），则{g（a）}=0或{g（a）}=1．

∴{g（a）}﹣{g（b）}=0或1

【解析】（1）把m=1代入函数解析式，求得导函数，得到切线的斜率，则切线方程可求；（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极小值即可；（3）根据函数的单调性得到函数y=g（x）在x∈（ ，+∞）上有两个极值点的m的范围，由a，b为方程2x2﹣2x+m=0的两相异正根，及根与系数关系，得到a，b的范围，把m用a（或b）表示，得到g（a）（或g（b）），求导得到g（b）的取值范围，进一步求得{g（a）}（或{g（b）}），则答案可求．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数的极值与导数的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．