Question

【题目】已知圆O：x2+y2=4与x轴负半轴的交点为A，点P在直线l： x+y﹣a=0上，过点P作圆O的切线，切点为T．
（1）若a=8，切点T（ ，﹣1），求直线AP的方程；
（2）若PA=2PT，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意，直线PT切于点T，则OT⊥PT，

又切点T（ ，﹣1），∴kOT=﹣ ，kPT=﹣ = ，

∴直线PT的方程为y+1= （x﹣ ），即 ，

联立直线l和PT， ，解得x=2 ，y=2，即P（2 ，2），

∴直线AP的斜率为k= = ，

∴直线AP的方程为y= ，即（ ）x﹣2y+2 ﹣2=0

（2）解：设P（x，y），由PA=2PT，得（x+2）2+y2=4（x2+y2﹣4），即3x2+3y2+4x﹣20=0，

即满足PA=2PT的点P的轨迹是一个圆（x﹣ ）2+y2= ．

∴问题可转化为直线 与圆（x﹣ ）2+y2= 有公共点，

∴d= ≤ ，即| | ，

解得 ．

∴实数a的取值范围是[ ， ]

【解析】（1）由题意，直线PT切于点T，则OT⊥PT，求出直线PT的方程，联立直线l和PT，得P（2 ，2），由此能求出直线AP的方程．（2）设P（x，y），由PA=2PT，得满足PA=2PT的点P的轨迹是一个圆（x﹣ ）2+y2= ．问题可转化为直线 与圆（x﹣ ）2+y2= 有公共点，由此能求出实数a的取值范围．