Question

【题目】已知二次函数f（x）的对称轴x=﹣2，f（x）的图象被x轴截得的弦长为2 ，且满足f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（（ ）x）＞k，对x∈[﹣1，1]恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵二次函数f（x）的对称轴x=﹣2，∴f（x）=a（x+2）2+k（a≠0），

又f（0）=1，∴4a+k=1…①

又∵二次函数f（x）的对称轴x=﹣2，且f（x）的图象被x轴截得的弦长为2 ，∴f（x）过点（﹣2+ ，0），

∴3a+k=0…②，

由①②式得 a=1，k=﹣3

∴f（x）的解析式为：f（x）=（x+2）2﹣3

（2）解：f（（ ）x）＞k，对x∈[﹣1，1]恒成立[（ ）x+2]2﹣3＞k，对x∈[﹣1，1]恒成立，

∴k+3＜（[（ ）x+2]2）min．当x∈[﹣1，1]时， ，∴（[（ ）x+2]2）min= ，

k+3＜ k＜ ，∴实数k的取值范围：（﹣∞， ）

【解析】（1）设f（x）=a（x+2）2+k（a≠0），由弦长为2 ，f（0）=1可得a和k，从而可求得f（x）的解析式；（2）f（（ ）x）＞k，对x∈[﹣1，1]恒成立k+3＜（[（ ）x+2]2）min
【考点精析】掌握二次函数的性质是解答本题的根本，需要知道当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减．