Question

【题目】如图，过抛物线y2=2px（p＞0）焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为（ ）
A.y2=3x
B.y2=9x
C.y2= x
D.y2= x

Answer 1

【答案】A
【解析】解：设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）， 作AM、BN垂直准线于点M、N，则|BN|=|BF|，
又|BC|=2|BF|，得|BC|=2|BN|，
∴∠NCB=30°，
有|AC|=2|AM|=6，
设|BF|=x，则2x+x+3=6x=1，
而x1+ =3，x2+ =1，且x1x2= ，
∴（3﹣ ）（1﹣v）= ，解得p= ．
得y2=3x．
故选A．

根据过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，作AM、BN垂直准线于点M、N，根据|BC|=2|BF|，且|AF|=3，和抛物线的定义，可得∠NCB=30°，设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），|BF|=x，而x1+ =3，x2+ =1，且x1x2= ，即有（3﹣ ）（1﹣ ）= ，可求得p的值，即求得抛物线的方程．