【题目】如图,四棱锥P—ABCD中,PD底面ABCD,AB//DC,AD
DC,AB=AD=1,DC=2,PD=
,M为棱PB的中点.
(1)证明:DM平面PBC;
(2)求二面角A—DM—C的余弦值.
【答案】(1) (2)
【解析】试题分析:(1)连结,取
的中点
,连结
,由已知条件推导出
,
,由此能证明
平面
;(2)以
为原点,
为
轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角
的余弦值.
试题解析:(1)连接BD,取DC的中点G,连接BG,
由此知DG=GC=BG=1,即△DBC为直角三角形,
∴BC⊥BD.又PD⊥平面ABCD,∴BC⊥PD,又PD∩BD=D,
∴BC⊥平面BDP,∴BC⊥DM.
又PD=BD=,PD⊥BD,M为PB的中点,
∴DM⊥PB,∵PB∩BC=B,
∴DM⊥平面PBC。
以D为坐标原点,射线DA,DC,DP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴,建立如图所示的直角坐标系D-xyz,
则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0),P(0,0,),
从而,设
是平面ADM的法向量,
则,即2∴可取
.
同理,设是平面CDM的法向量,则
,即2
∴可取,∴
,
显然二面角A-DM-C的大小为钝角,∴所以二面角A-DM-C的余弦值为.
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【题目】在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,底面为正三角形,侧棱垂直底面,AB=2,AA1=6.若E,F分别是棱BB1 , CC1上的点,且BE=B1E,C1F= CC1 , 则异面直线A1E与AF所成角的余弦值为( )
A.﹣
B.
C.﹣
D.
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【题目】某客运公司用A,B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务,每车每天往返一次.A,B两种车辆的载客量分别为36人和60人,从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆.公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队,并要求B型车不多于A型车7辆.若每天要以不少于900人运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的营运成本最小,那么应配备A型车、B型车各多少辆?
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【题目】在中学生综合素质评价某个维度的测评中,分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评,某校高二年级有男生500人,女生400人,为了了解性别对维度测评结果的影响,采用分层抽样方法从高二年级抽取了45名学生的测评结果,并作出频率统计表如表: 表一:男生测评结果统计
等级 | 优秀 | 合格 | 尚待改进 |
频数 | 15 | x | 5 |
表二:女生测评结果统计
等级 | 优秀 | 合格 | 尚待改进 |
频数 | 15 | 3 | y |
参考数据:
P(K2≥k0) | 0.10 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
(参考公式: ,其中n=a+b+c+d).
(1)计算x,y的值;
(2)由表一表二中统计数据完成2×2列联表,并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”.
男生 | 女生 | 总计 | |
优秀 | |||
非优秀 | |||
总计 |
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【题目】已知函数f(x)=ln(x﹣2)﹣ ,(a为常数且a≠0),若f(x)在x0处取得极值,且x0[e+2,e2+2],而f(x)≥0在[e+2,e2+2]上恒成立,则a的取值范围( )
A.a≥e4+2e2
B.a>e2+2e
C.a≥e2+2e
D.a>e4+2e2
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【题目】已知函数f(x)= ,若方程f(x)=a有四个不同的解x1 , x2 , x3 , x4 , 且x1<x2<x3<x4 , 则x3(x1+x2)+
的取值范围是( )
A.(﹣1,+∞)
B.(﹣1,1]
C.(﹣∞,1)
D.[﹣1,1)
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【题目】某校举行运动会,其中三级跳远的成绩在8.0米(四舍五入,精确到0.1米)以上的进入决赛,把所得数据进行整理后,分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图),已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04,0.10,0.14,0.28,0.30,第6小组的频数是7.
(Ⅰ)求进入决赛的人数;
(Ⅱ)若从该校学生(人数很多)中随机抽取两名,记X表示两人中进入决赛的人数,求X的分布列及数学期望;
(Ⅲ)经过多次测试后发现,甲成绩均匀分布在8~10米之间,乙成绩均匀分布在9.5~10.5米之间,现甲,乙各跳一次,求甲比乙远的概率.
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