Question

【题目】在圆x2+y2=9上任取一点P，过点P作y轴的垂线段PD，D为垂足，当P为圆与y轴交点时，P与D重合，动点M满足 =2 ；
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）抛物线C′的顶点在坐标原点，并以曲线C在y轴正半轴上的顶点为焦点，直线y=x+3与抛物线C′交于A、B两点，求线段AB的长．

Answer 1

【答案】
（1）

解：设M（x，y），由PD⊥y轴于点D，可设P（x0，y），D（0，y）

由 =2 得（x，0）=2（x0﹣x，0），

∴x=2（x0﹣x），即x0= x

∵动点P在圆x2+y2=9上

∴

∴ =9，即 =1

∴动点M的轨迹C的方程为 =1

（2）

解：曲线C在y轴正半轴上的顶点为（0，3），由已知可设抛物线方程为x2=2py（p＞0）

∵焦点坐标为（0，3），∴ =3，即p=6

∴抛物线C′的方程为x2=12y

直线y=x+3与抛物线C′交于A，B两点，A（x1，y1），B（x2，y2），

方程联立：y2﹣18y+9=0

∵直线y=x+3经过抛物线焦点F（0，3），

∴|AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+p=18+6=24

【解析】（1）利用代入法，求点M的轨迹C的方程；（2）求出抛物线C′的方程，方程联立，利用抛物线的定义，即可求线段AB的长．
【考点精析】关于本题考查的椭圆的标准方程，需要了解椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：才能得出正确答案．