【题目】已知椭圆 (a>b>0)的离心率为
,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线
相切.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设P(4,0),M,N是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点,连接PN交椭圆C于另一点E,求直线PN的斜率的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,证明直线ME与x轴相交于定点.
【答案】解:(Ⅰ)由题意知 ,所以
,即a2=4b2 , ∴a=2b
又因为 ,∴a=2,故椭圆C的方程为
.
(Ⅱ)由题意知直线PN的斜率存在,设直线PN的方程为y=k(x﹣4).
由 得(4k2+1)x2﹣32k2x+64k2﹣4=0.①
由△=(﹣32k2)2﹣4(4k2+1)(64k2﹣4)>0,得12k2﹣1<0,∴
又k=0不合题意,所以直线PN的斜率的取值范围是: .
(Ⅲ)设点N(x1 , y1),E(x2 , y2),则M(x1 , ﹣y1).
直线ME的方程为 .令y=0,得
.
将y1=k(x1﹣4),y2=k(x2﹣4)代入整理,得 .②
由①得 ,
代入②整理,得x=1.
所以直线ME与x轴相交于定点(1,0)
【解析】(Ⅰ)由题意知 ,所以a2=4b2 , 由此可知椭圆C的方程为
.(Ⅱ)由题意知直线PN的斜率存在,设直线PN的方程为y=k(x﹣4).由题设得(4k2+1)x2﹣32k2x+64k2﹣4=0.由此入手可知直线PN的斜率的取值范围是:
.(Ⅲ)设点N(x1 , y1),E(x2 , y2),则M(x1 , ﹣y1).直线ME的方程为
.令y=0,得
.由此入手可知直线ME与x轴相交于定点(1,0).
【考点精析】根据题目的已知条件,利用直线的斜率的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k = tanα.
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【题目】已知F1、F2为双曲线 ﹣
=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F2作双曲线渐近线的垂线,垂足为P,若|PF1|2﹣|PF2|2=c2 . 则双曲线离心率的值为
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【题目】选修4-4:极坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,曲线M的参数方程为 (α为参数),若以直角坐标系中的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线N的极坐标方程为
(t为参数).
(1)求曲线M的普通方程和曲线N的直角坐标方程;
(2)若曲线N与曲线M有公共点,求t的取值范围.
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【题目】已知集合A={x|2a﹣1<x<3a+1},集合B={x|﹣1<x<4}.
(1)若AB,求实数a的取值范围;
(2)是否存在实数a,使得A=B?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知函数 . (Ⅰ)当m=8时,求f(﹣4)的值;
(Ⅱ)当m=8且x∈[﹣8,8]时,求|f(x)|的最大值;
(Ⅲ)对任意的实数m∈[0,2],都存在一个最大的正数K(m),使得当x∈[0,K(m)]时,不等式|f(x)|≤2恒成立,求K(m)的最大值以及此时相应的m的值.
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【题目】已知二次函数,关于实数
的不等式
的解集为
.
(1)当时,解关于
的不等式:
;
(2)是否存在实数,使得关于
的函数
(
)的最小值为
?若存在,求实数
的值;若不存在,说明理由.
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【题目】在圆x2+y2=9上任取一点P,过点P作y轴的垂线段PD,D为垂足,当P为圆与y轴交点时,P与D重合,动点M满足 =2
;
(1)求点M的轨迹C的方程;
(2)抛物线C′的顶点在坐标原点,并以曲线C在y轴正半轴上的顶点为焦点,直线y=x+3与抛物线C′交于A、B两点,求线段AB的长.
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