【题目】选修4-4:极坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,曲线M的参数方程为 (α为参数),若以直角坐标系中的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线N的极坐标方程为 (t为参数).
(1)求曲线M的普通方程和曲线N的直角坐标方程;
(2)若曲线N与曲线M有公共点,求t的取值范围.
【答案】(1)y=x2-1, ,x+y=t.(2)-≤t≤
【解析】试题分析:(1)根据三角同角关系消参数得曲线M的普通方程,注意参数取值范围,根据将曲线N的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)直接联立直线方程与抛物线方程,利用判别式以及数形结合确定t的取值范围.
试题解析:(1)由x=cosα+sinα得x2=(cosα+sinα)2=cos2α+2sinαcosα+sin2α,
所以曲线M可化为y=x2-1,x∈[, ],
由ρsin=t得ρsinθ+ρcosθ=t,
所以ρsinθ+ρcosθ=t,所以曲线N可化为x+y=t.
(2)若曲线M,N有公共点,则当直线N过点,时满足要求,此时t=,并且向左下方平行移动直到相切之前总有公共点,相切时仍然只有一个公共点,
联立,得x2+x-1-t=0,
由Δ=1+4(1+t)=0,解得t=-.
综上可求得t的取值范围是-≤t≤.
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【题目】已知椭圆C: =1(a>b>0)上的动点到焦点距离的最小值为 -1.以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+ =0相切.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若过点M(2,0)的直线与椭圆C相交于A,B两点,P为椭圆上一点,且满足 + =t (O为坐标原点).当|AB|= 时,求实数t的值.
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【题目】已知集合A={x|0< ≤1},B={y|y=( )x , 且x<﹣1}
(1)若集合C={x|x∈A∪B,且xA∩B},求集合C;
(2)设集合D={x|3﹣a<x<2a﹣1},满足A∪D=A,求实数a的取值范围.
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【题目】函数y=f(x)在[0,2]上单调递增,且函数f(x+2)是偶函数,则下列结论成立的是( )
A.f(1)<f( )<f( )
B.f( )<f(1)<f( )??
C.f( )<f( )<f(1)
D.f( )<f(1)<f( )
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【题目】已知椭圆C的中心在原点,左焦点为F1(﹣1,0),右准线方程为:x=4.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若椭圆C上点N到定点M(m,0)(0<m<2)的距离的最小值为1,求m的值及点N的坐标.
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【题目】若不等式lg ≥(x﹣1)lg3对任意x∈(﹣∞,1]恒成立,则a的取值范围是( )
A.(﹣∞,0]
B.[1,+∞)
C.[0,+∞)
D.(﹣∞,1]
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【题目】已知椭圆 (a>b>0)的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线 相切.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设P(4,0),M,N是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点,连接PN交椭圆C于另一点E,求直线PN的斜率的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,证明直线ME与x轴相交于定点.
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【题目】某个实心零部件的形状是如图所示的几何体,其下部是底面均是正方形,侧面是全等的等腰梯形的四棱台A1B1C1D1﹣ABCD,其上是一个底面与四棱台的上底面重合,侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD﹣A2B2C2D2 .
(1)证明:直线B1D1⊥平面ACC2A2;
(2)现需要对该零部件表面进行防腐处理,已知AB=10,A1B1=20,AA2=30,AA1=13(单位:厘米),每平方厘米的加工处理费为0.20元,需加工处理费多少元?
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【题目】已知向量 =(cosα,sinα), =(cosβ,sinβ), =(﹣1,0).
(1)求向量 的长度的最大值;
(2)设α= ,且 ⊥( ),求cosβ的值.
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