【题目】已知向量 =(cosα,sinα),
=(cosβ,sinβ),
=(﹣1,0).
(1)求向量 的长度的最大值;
(2)设α= ,且
⊥(
),求cosβ的值.
【答案】
(1)解: =(cosβ﹣1,sinβ),则
| |2=(cosβ﹣1)2+sin2β=2(1﹣cosβ).
∵﹣1≤cosβ≤1,
∴0≤| |2≤4,即0≤|
|≤2.
当cosβ=﹣1时,有|b+c|=2,
所以向量 的长度的最大值为2.
(2)解:由(1)可得 =(cosβ﹣1,sinβ),
(
)=cosαcosβ+sinαsinβ﹣cosα=cos(α﹣β)﹣cosα.
∵ ⊥(
),
∴ (
)=0,即cos(α﹣β)=cosα.
由α= ,得cos(
﹣β)=cos
,
即β﹣ =2kπ±
(k∈Z),
∴β=2kπ+ 或β=2kπ,k∈Z,于是cosβ=0或cosβ=1
【解析】(1)利用向量的运算法则求出 ,利用向量模的平方等于向量的平方求出|
|的平方,利用三角函数的平方关系将其化简,利用三角函数的有界性求出最值.(2)利用向量垂直的充要条件列出方程,利用两角差的余弦公式化简得到的等式,求出值.
【考点精析】解答此题的关键在于理解数量积判断两个平面向量的垂直关系的相关知识,掌握若平面的法向量为
,平面
的法向量为
,要证
,只需证
,即证
;即:两平面垂直
两平面的法向量垂直.
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【题目】选修4-4:极坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,曲线M的参数方程为 (α为参数),若以直角坐标系中的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线N的极坐标方程为
(t为参数).
(1)求曲线M的普通方程和曲线N的直角坐标方程;
(2)若曲线N与曲线M有公共点,求t的取值范围.
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【题目】在圆x2+y2=9上任取一点P,过点P作y轴的垂线段PD,D为垂足,当P为圆与y轴交点时,P与D重合,动点M满足 =2
;
(1)求点M的轨迹C的方程;
(2)抛物线C′的顶点在坐标原点,并以曲线C在y轴正半轴上的顶点为焦点,直线y=x+3与抛物线C′交于A、B两点,求线段AB的长.
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【题目】已知数列{an}是首项为正数的等差数列,a1a2=3,a2a3=5.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=(an+1)2 ,求数列{bn}的前n项和Tn .
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【题目】已知定义在R上的奇函数f(x),当x>0时,f(x)=﹣x2+2x (Ⅰ)求函数f(x)在R上的解析式;
(Ⅱ)若函数f(x)在区间[﹣1,a﹣2]上单调递增,求实数a的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=4cosωxsin(ωx+ )+a(ω>0)图象上最高点的纵坐标为2,且图象上相邻两个最高点的距离为π. (Ⅰ)求a和ω的值;
(Ⅱ)求函数f(x)在[0,π]上的单调递减区间.
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