Question

【题目】已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=﹣x2+2x （Ⅰ）求函数f（x）在R上的解析式；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设x＜0，则﹣x＞0，f（﹣x）=﹣（﹣x）2+2（﹣x）=﹣x2﹣2x． 又f（x）为奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x）且f（0）=0．
于是x＜0时f（x）=x2+2x．
所以f（x）= ．
（Ⅱ）作出函数f（x）= 的图象如图：
则由图象可知函数的单调递增区间为[﹣1，1]
要使f（x）在[﹣1，a﹣2]上单调递增，
结合f（x）的图象知 ，
所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是（1，3]．

【解析】（Ⅰ）根据函数奇偶性的对称性，即可求函数f（x）在R上的解析式；（Ⅱ）根据函数奇偶性和单调性的关系，利用数形结合即可求出a的取值范围．
【考点精析】掌握奇偶性与单调性的综合是解答本题的根本，需要知道奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．