Question

【题目】设为下述正整数的个数：的各位数字之和为，且每位数字只能取，或

（1）求，，，的值；

（2）对，试探究与的大小关系，并加以证明.

Answer 1

【答案】（1），，，；（2），证明详见解析.

【解析】

（1）根据已知条件，依次取，列出符合的正整数，从而得到个数，得到所求结果；（2）由（1）猜想可知：，首先证得当时，，再用数学归纳法证得，接着用数学归纳法证明猜想的结论成立.

（1），则 ；

，则 ；

，则或 ；

，则，，， ；

综上：，，，

（2）由（1）猜想：；

记，其中且

假定，删去，则当依次取时，分别等于，，

故当时，

先用数学归纳法证明下式成立：

①时，由（1）得：，结论成立；

②假设当时，

当时，

当时，结论成立；

综合①②，，

再用数学归纳法证明下式成立：

①当时，由（1）得：，结论成立；

②假设当时，

当时，

当时，结论成立；

综合①②，，