Question

【题目】在平面直角坐标系中，圆的方程为，且圆与轴交于两点，设直线的方程为.

（1）当直线与圆相切时，求直线的方程；

（2）已知直线与圆相交于两点.（i），求直线的方程；（ii）直线与直线相交于点，直线，直线，直线的斜率分别为，，，是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（i）直线的方程为；（ii）存在常数，使得恒成立.

【解析】

（1）利用圆心到直线的距离等于半径构造关于的方程，解方程求得结果；（2）（i）设，由可得，代入圆的方程可求解出点坐标，从而得到斜率，求得直线方程；（ii）将直线方程代入圆的方程可求得点坐标；同理将直线方程代入圆的方程可求得点坐标；利用可求得的关系，利用表示出点坐标，整理可得，进而可得到满足，得到常数.

（1）由题意， 圆心到直线的距离

直线与圆相切 ，解得：

直线方程为：

（2）（i）设，由得：

由，解得：

直线的方程为：

（ii）由题意知：，

则，与圆联立得：

同理可得：

，整理可得：

设

，即

存在常数，使得恒成立