Question

（1）已知

a

=（2x-y+1，x+y-2），

b

=（2，-2），
①当x、y为何值时，a与b共线？
②是否存在实数x、y，使得a⊥b，且|

a

|=|

b

|？若存在，求出xy的值；若不存在，说明理由．
（2）设

n

和

m

是两个单位向量，其夹角是60°，试求向量

a

=2

m

+

n

和b=-3

m

+2

n

的夹角．

Answer 1

分析：（1）①根据向量平行的坐标表示式，由

a

∥与

b

可得-2（2x-y+1）=2（x+y-2），解之得到实数x=

1

3

，得到使

a

、

b

共线的x、y的值．
②

a

与

b

垂直，且|

a

|=|

b

|，可得

a

=（-2，-2）或

a

=（2，2），由此建立关于x、y的方程组，解出x、y的值，从而得到存在实数x、y，使得

a

⊥

b

且|

a

|=|

b

|，此时xy=-1或xy=3．
（2）根据向量数量积公式算出

m

•

n

=

1

2

，再由向量数量运算性质算出|

a

|=|

b

|=

7

和

a

•

b

=-

7

2

．最后利用向量的夹角公式，可得

a

与

b

的夹角为120°．

解答：解：（1）①∵

a

=（2x-y+1，x+y-2），

b

=（2，-2），
∴若

a

与

b

共线，则-2（2x-y+1）=2（x+y-2），解之得x=

1

3

因此，当x=

1

3

、y为任意实数时，

a

与

b

共线；
②若

a

与

b

垂直，且|

a

|=|

b

|，则
∵

b

=（2，-2），
∴

a

=（2x-y+1，x+y-2）=（-2，-2）或

a

=（2x-y+1，x+y-2）=（2，2）
即

2x-y+1=-2 x+y-2=-2

或

2x-y+1=2 x+y-2=2

，解之得

x=-1 y=1

或

x=1 y=3

∴xy=-1或xy=3．
因此存在实数x、y，使得

a

⊥

b

且|

a

|=|

b

|，此时xy=-1或xy=3．
（2）∵

n

和

m

是两个单位向量，其夹角是60°，∴

m

•

n

=|

m

|•|

n

|cos60°=

1

2

，
∴|

a

|²=|2

m

+

n

|²=（2

m

+

n

）•（2

m

+

n

）=4

m

²+4

m

•

n

+

n

²=7，同理可得|

b

|²=|-3

m

+2

n

|²=7，
因此，|

a

|=|

b

|=

7

∵

a

•

b

=（2

m

+

n

）•（-3

m

+2

n

）=-

7

2

．
设

a

与

b

的夹角为θ，可得cosθ=

a • b

| a |•| b |

=-

1

2

∵θ∈[0°，180°]，∴θ=120°．

点评：本题给出向量含有字母的坐标，探索两个向量能否共线或者平行，并且求向量的夹角．着重考查了平面向量的数量积计算公式和平行、垂直的条件等知识，属于中档题．