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    （1）已知
    a
    =（2x-y+1，x+y-2），
    b
    =（2，-2），①当x、y为何值时，
    a
    与
    b
    共线？②是否存在实数x、y，使得
    a
    ⊥
    b
    ，且|
    a
    |=|
    b
    |？若存在，求出xy的值；若不存在，说明理由．
    （2）设
    i
    和
    j
    是两个单位向量，其夹角是90°，
    a
    =
    i
    +2
    j
    ，
    b
    =-3
    i
    +
    j
    ，若(k
    a
    -
    b
    )⊥(
    a
    +k
    b
    )    ，求实数k的值．
    分析：（1）①由
    a
    与
    b
    共线，可得存在非零实数λ使得
    a
    =λ
    b
    ，从而可得结论；
    ②由
    a
    ⊥
    b
    得，（2x-y+1）×2+（x+y-2）×（-2）=0，由|
    a
    |=|
    b
    |得，（2x-y+1）2+（x+y-2）2=8，从而可得结论；
    （2）利用向量的数量积公式，即可求实数k的值．
    解答：解：（1）①∵
    a
    与
    b
    共线，
    ∴存在非零实数λ使得
    a
    =λ
    b
    ，
    ∴
    2x-y+1=2λ
    x+y-2=-2λ

    ∴x=
    1
    3
    ，y∈R；
    ②由
    a
    ⊥
    b
    得，（2x-y+1）×2+（x+y-2）×（-2）=0
    所以x-2y+3=0．（i）
    由|
    a
    |=|
    b
    |得，（2x-y+1）2+（x+y-2）2=8．（ii）
    解（i）（ii）得
    x=-1
    y=1
    或
    x=
    5
    3
    y=
    7
    3
    ；
    （2）由题意，|
    a
    |=
    a
    2
    =
    		(
    i
    +2
    j
    )    2
    =
    		5
    ，①|
    b
    |=
    b
    2
    =
    		(-3
    i
    +
    j
    )    2
    =
    		10
    ，②
    a
    •
    b
    =(
    i
    +2
    j
    )(-3
    i
    +
    j
    )=-1    ③…（10分）
    ∵(k
    a
    -
    b
    )⊥(
    a
    +k
    b
    )    ，
    ∴(k
    a
    -
    b
    )•(
    a
    +k
    b
    )=0    ，得，k|
    a
    |2-k|
    b
    |2+(k2-1)
    a
    •
    b
    =0
    将①②③代入得：k2+5k-1=0，…（12分）
    解得k=
    -5±
    		29
    2
    …（14分）
    点评：本题考查向量共线、垂直的条件的运用，考查数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （1）已知a，b，x，y是正实数，求证：
    a2
    x
    +
    b2
    y
    ≥
    (a+b)2
    x+y
    ，当且仅当
    a
    x
    =
    b
    y
    时等号成立；
    （2）求函数f(x)=
    1
    3-tan2x
    +
    9
    8+sec2x
    的最小值，并指出取最小值时x的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    选做题 
    （1）已知a，b∈R，若M=
    -1a
    b3
    所对应的变换TM把直线L：2x-y=3变换为自身，求实数a，b，并求M的逆矩阵．
    （2）已知直线l的参数方程为
    x=
    1
    2
    t
    y=
    		2
    2
    +
    		3
    2
    t
    （t为参数），若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ=2cos（θ-
    π
    4
    ）．
    （Ⅰ）求直线l的倾斜角；
    （Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （1）已知
    a
    =（2x-y+1，x+y-2），
    b
    =（2，-2），
    ①当x、y为何值时，a与b共线？
    ②是否存在实数x、y，使得a⊥b，且|
    a
    |=|
    b
    |？若存在，求出xy的值；若不存在，说明理由．
    （2）设
    n
    和
    m
    是两个单位向量，其夹角是60°，试求向量
    a
    =2
    m
    +
    n
    和b=-3
    m
    +2
    n
    的夹角．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    （1）已知
    a
    =（2x-y+1，x+y-2），
    b
    =（2，-2），①当x、y为何值时，
    a
    与
    b
    共线？②是否存在实数x、y，使得
    a
    ⊥
    b
    ，且|
    a
    |=|
    b
    |？若存在，求出xy的值；若不存在，说明理由．
    （2）设
    i
    和
    j
    是两个单位向量，其夹角是90°，
    a
    =
    i
    +2
    j
    ，
    b
    =-3
    i
    +
    j
    ，若(k
    a
    -
    b
    )⊥(
    a
    +k
    b
    )    ，求实数k的值．

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