Question

已知函数f（x）=sin（x+a）+

3

cos（x-a），其中0≤a＜π，且对于任意实数x，f（x）=f（-x）恒成立．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的最大值和单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）根据f（x）=f（-x）代入函数解析式求得cosa+

3

sina=0，即tana的值，进而根据a的范围求得a的值．
（2）把a代入函数解析式，利用两角和公式化简整理得f（x）=-cosx，进而根据余弦函数的性质求得函数的最大值和单调递增区间．

解答：解：（1）由已知得f（x）=f（-x）
即sin（x+a）+

3

cos（x-a）=sin（-x+a）+

3

cos（-x-a）
所以cosa+

3

sina=0，于是tana=-

3

3

又因为0＜a＜π
∴a=

5π

6

（2）由（1）可知f（x）=sin（x+

5π

6

）+

3

cos（x-

5π

6

）=sinxcos

5π

6

+cosxsin

5π

6

+

3

cosxcos

5π

6

+

3

sinxsin

5π

6

=-cosx
由此可知，函数f（x）的最大值为1．
单调递增区间为：[2kπ，2kπ+π]（k∈Z）

点评：本题主要考查了函数奇偶性的应用，余弦函数的性质，两角和公式的运用．