Question

11．已知数列{ a_n }满足a₁=$\frac{2}{3}$，且对任意的正整数m，n，都有a_m+n=a_m+a_n．数列{a_n}的前n项和为S_n，若恒有$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{1}{{S}_{i}}$＜T（n∈N^*），则T的最小整数值为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根据数列的性质归纳得出通项公式，得出{a_n}为等差数列，求出S_n，利用列项法求出$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{1}{{S}_{i}}$得出结论．

解答 解：∵a_m+n=a_m+a_n，a₁=$\frac{2}{3}$．
∴a₂=2a₁=$\frac{4}{3}$，
a₃=a₂+a₁=3a₁=2，
…
∴a_n=na₁=$\frac{2n}{3}$．
∴{a_n}是以$\frac{2}{3}$为首项，以$\frac{2}{3}$为等差的等差数列．
∴S_n=$\frac{\frac{2}{3}+\frac{2n}{3}}{2}×n$=$\frac{{n}^{2}+n}{3}$，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{3}{{n}^{2}+n}$=3（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$），
∴$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{1}{{S}_{i}}$=3（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）=3（1-$\frac{1}{n+1}$）=3-$\frac{3}{n+1}$＜3．
∴T的最小正整数值为3．
故选C．

点评 本题考查了数列通项公式的求法，求和公式，列项法求和，属于中档题．