Question

已知平面上一个定点C（-1，0）和一条定直线L：x=-4，P为该平面上一动点，作PQ⊥L，垂足为Q，(

PQ

+2

PC

)•(

PQ

-2

PC

)=0．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）求

PQ

•

PC

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先根据(

PQ

+2

PC

)•(

PQ

-2

PC

)=0得到|

PQ

|2=4|

PC

|2，把点P的坐标代入整理即可求出点P的轨迹方程；
（2）先根据向量的坐标运算求出

PQ

，

PC

的坐标，再代入

PQ

•

PC

整理为关于x的函数，结合x的取值范围即可求出

PQ

•

PC

的取值范围．

解答：解：（1）由(

PQ

+2

PC

)•(

PQ

-2

PC

)=0，
得：|

PQ

|2=4|

PC

|22分
设P（x，y），得|x+4|²=4[（x+1）²+y²]，
即   3x²+4y²=12，
∴点P的轨迹方程为

x2

4

+

y2

3

=1． 3分
（2）设P（x，y），

PQ

=(-4-x，0)，

PC

=(-1-x，-y)

PQ

•

PC

=(-4-x，0)•(-1-x，-y)=x2+5x+4=(x+

5

2

)2-

9

4

2分
由x∈[-2，2]，故有

PQ

•

PC

∈[-2，18]3分．

点评：本题主要考查平面向量数量积的运算．解决第一问的关键在于得到|

PQ

|2=4|

PC

|2．