Question

已知椭圆

x2

4

+

y2

3

=1内有一点P（1，-1），F是椭圆的右焦点．
（1）求该椭圆的离心率．
（2）在椭圆上求一点M，使得|MP|+2|MF|的值最小，并求出这个最小值．

Answer 1

分析：（1）根据椭圆的标准方程得到a²、b²的值，再由c=

a2-b2

求出c的值，再求出离心率；
（2）根据题意画出图形，利用椭圆的第二定义，把|MF|转化到右准线的距离，利用“两点间的距离最短”和条件，求出最小值以及对应的M点的坐标．

解答：解：（1）依题设a2=4，b2=3，c=

a2-b2

=1
所以，离心率e=

c

a

=

1

2

（2）如图：过M点作MQ垂直于椭圆的右准线，垂足为点Q，
由椭圆的第二定义和（1）可知：

|MF|

|MQ|

=

1

2

，所以|MF|=

1

2

|MQ|，
故|MP|+2|MF|=|MP|+|MQ|，
所以当P、M、Q三点共线时，由P（1，-1）得，
所求的值最小为|PQ|=(

a2

c

-xP)=4-1=3，
把y=-1代入椭圆方程，解得x=

2 6

3

或x=-

2 6

3

（舍去），
此时，M(

2 6

3

，-1)．

点评：本题考查了椭圆的简单性质应用，要求会根据椭圆的标准方程求出a、b、c、e的值，对于求距离的最值，一般利用第二定义把“椭圆上点到焦点的距离和到对应准线的距离”进行转化．