Question

18．设M={a|a=x²-y²，x，y∈Z}．
（1）求证：2k+1∈M（其中k∈Z）；
（2）属于M的两个整数，其积是否仍属于M？

Answer 1

分析 （1）令x=k+1，y=k，k∈Z；从而证明．
（2）设a₁，a₂∈M，则a₁a₂=（x₁²-y₁²）（x₂²-y₂²）=（x₁x₂+y₁y₂）²-（x₂y₁+x₁y₂）²∈M．

解答 解：（1）证明：令x=k+1，y=k，k∈Z；
则a=x²-y²=2k+1∈M．
（2）设a₁，a₂∈M，则
a₁a₂=（x₁²-y₁²）（x₂²-y₂²）
=x₁²x₂²+y₁²y₂²-（x₂²y₁²+x₁²y₂²）
=（x₁x₂+y₁y₂）²-（x₂y₁+x₁y₂）²∈M．

点评 本题考查了集合与元素的关系的判断与应用，属于基础题．