Question

7．已知$\left\{\begin{array}{l}{3x+y-1≥0}\\{2x-y≥-3}\\{4x-y≤2}\end{array}\right.$，问x，y取何值时，函数z=x²+y²取得最大值和最小值？并求出最值．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合距离公式进行求解即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图，z的几何意义为区域内的点到原点的距离的平方，
由图象知原点到直线3x+y-1=0的距离最小，此时d=$\frac{|-1|}{\sqrt{1+{3}^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{10}}$，z的最小值为z=d²=$\frac{1}{10}$．
原点到点A的距离最大，由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y=-3}\\{4x-y=2}\end{array}\right.$，
得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{2}}\\{y=8}\end{array}\right.$，即A（$\frac{5}{2}$，8），
此时z=（$\frac{5}{2}$）²+8²=$\frac{281}{4}$．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合以及两点间的距离公式，点到直线的距离公式是解决本题的关键．