Question

8．设x₁，x₂是方程x²+ax+b=0（x∈R）的两个根，且满足x₁²+x₂²=1，求出b=f（a）的最值．

Answer 1

分析 由已知中x₁，x₂是方程x²+ax+b=0（x∈R）的两个根，可得：x₁+x₂=-a，x₁•x₂=b，且a²-4b≥0，结合x₁²+x₂²=1，可得：b=f（a）=$\frac{1}{2}$a²-$\frac{1}{2}$，a∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，结合二次函数的图象和性质，可得答案．

解答 解：由x₁，x₂是方程x²+ax+b=0（x∈R）的两个根，
∴x₁+x₂=-a，x₁•x₂=b，且a²-4b≥0，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=a²-2b=1，
∴b=f（a）=$\frac{1}{2}$a²-$\frac{1}{2}$，且a²-2≤0，即a∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]
当a=0时，f（a）的最小值为-$\frac{1}{2}$，
当a=±$\sqrt{2}$时，f（a）的最大值为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查的知识点是根与系数的关系，二次函数的图象和性质，难度中档．