Question

13．已知甲乙两个商场相距6公里，由于交通的原因市民到甲商场每公里车费到乙商场每公里车费的2倍，若甲乙两个商场同种商品价格都相同，为了节约起见，试确定市民到甲乙两个商场购物的地区分界线，并画出到甲商场购物的市民分布地区图．

Answer 1

分析 以甲乙两商场的中点为原点，以甲乙两商场所在直线为x轴，建立如图的直角坐标系，求得甲乙的坐标，设出分界线上的点的坐标为（x，y），由题意，可得到甲乙两商场的路程之比为1：2，由两点的距离公式，化简整理，即可得到所求点的轨迹方程及轨迹，进而得到所求区域．

解答 解：以甲乙两商场的中点为原点，
以甲乙两商场所在直线为x轴，建立如图的直角坐标系，
即有甲商场的坐标为（-3，0），乙商场的坐标为（3，0），
设市民到甲乙两个商场购物的地区分界线上
的点的坐标为（x，y），
由市民到甲商场每公里车费到乙商场每公里车费的2倍，
可得到甲乙两商场的路程之比为1：2，
即有$\frac{\sqrt{（x+3）^{2}+{y}^{2}}}{\sqrt{（x-3）^{2}+{y}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，
两边平方，化简可得，
x²+y²+10x+9=0，
即为（x+5）²+y²=16，
故市民到甲乙两个商场购物的地区分界线为（-5，0）为圆心，4为半径的圆，
到甲商场购物的市民分布地区图为圆及内部的区域．

点评 本题考查直线和圆的应用题，考查圆的方程的求法，考查运算能力，属于中档题．