Question

17．若函数f（x）的定义域内存在实数x，满足f（-x）=-f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．例如：f（x）=x²+x-1在R上存在x=1，满足f（-1）=-f（1），故称f（x）=x²+x-1为“局部奇函数”．设f（x）=ln（x+2）在其定义域内存在x=a，使f（x）=ln（x+2）是“局部奇函数”，则a=$±\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 利用局部奇函数的定义，建立方程关系，然后求解即可．

解答 解：根据局部奇函数的定义，f（x）=ln（x+2），f（-x）=-f（x）
可化为ln（-x+2）=-ln（x+2）=ln$\frac{1}{x+2}$，
∵f（x）=ln（x+2）在其定义域内存在x=a，使f（x）=ln（x+2）是“局部奇函数”，
∴ln（-a+2）=ln${\;}_{\;}^{\;}$$\frac{1}{a+2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-a+2=\frac{1}{a+2}}\\{-a+2＞0}\\{a+2＞0}\end{array}\right.$，
解得a=$±\sqrt{3}$，
故答案为：±$\sqrt{3}$

点评 本题主要考查新定义的应用，利用新定义，建立方程关系，然后利用函数性质进行求解是解决本题的关键，考查学生的运算能力．