Question

（1）已知sinα=，且角α的终边在第二象限，求cosα和tanα的值；

（2）已知tanα=3，求sinα和cosα的值；

（3）已知sinα=m(|m|≤1)，求cosα和tanα的值.

Answer 1

思路分析：（1）直接利用同角三角函数的基本关系式和角的范围求值；（2）应注意角的终边位置有两种即第一、三象限，所以结果有两种；（3）则需要分类讨论.

解：（1）因为sin²α+cos²α=1，

所以cos²α=1-sin²α=1-()²=.

又因为α是第二象限角，所以cosα＜0，

于是.

从而.

（2）因为sin²α+cos²α=1，所以sin²α=1-cos²α.

又因为，

所以.

于是,.

因为tanα=3＞0，所以角α是第一或第三象限的角.

如果α是第一象限角，那么

,sinα=tanαcosα=.

如果α是第三象限角，那么

，sinα=tanαcosα=.

（3）①若m=±1，由sin²α+cos²α=1,得cos²α=1-sin²α=1-(±1)²=0,

所以cosα=0，tanα不存在.

②若m=0，则角α的终边在x轴上，由sin²α+cos²α=1,得cos²α=1-sin²α=1-0²=1.

当角α的终边在x轴正半轴上时，cosα=1,tanα=0;

当角α的终边在x轴负半轴上时，cosα=-1,tanα=0.

③若0＜|m|＜1时,

当角α的终边在第一象限或第四象限时，由sin²α+cos²α=1,得，；

当角α的终边在第二象限或第三象限时，由sin²α+cos²α=1,得，.

综上,可知

深化升华 利用同角的三角函数基本关系式，在已知一个三角函数值而求其他三角函数值时，应首先根据所给的三角函数值和已知条件判断角的终边位置，如果没法判断的话应注意分类讨论.而在具体求解时应首先利用平方关系，再利用其他关系.