Question

【题目】已知椭圆：的焦距为，且经过点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）斜率为的直线与椭圆交于不同的两点、，若椭圆上存在点，使得四边形为平行四边形（其中是坐标原点），求平行四边形的面积.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由椭圆的焦距为2，且椭圆C过点，列出方程求出a，b，由此能求出椭圆C的方程；（2）设直线的方程为，由，消去得

.利用韦达定理可得，点P在椭圆上可得表示平行四边形的面积即可.

解：（1）由题意可知椭圆的左、右焦点分别为，，

又椭圆经过点，所以，

即，

所以，即，

又，所以椭圆的标准方程为.

（2）设直线的方程为，由，消去得

.设，，，

则有，即，

又，.

因为四边形为平行四边形，所以，故，

，

所以，

由点在椭圆上可得，化简得

而 .

又因为，所以，

所以，

所以.

又点到直线的距离，

故的面积.

所以平行四边形的面积为.