Question

17．在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=\sqrt{3}+tsinα}\end{array}\right.$，（t为参数）与曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）相交于不同的两点A，B．以O为极点，Ox正半轴为极轴，两坐标系取相同的单位长度，建立极坐标系．
（1）求曲线C的极坐标方程；
（2）若α=$\frac{π}{3}$，求线段|AB|的长度．

Answer 1

分析 （1）利用cos²θ+sin²θ=1可把曲线C的参数方程为普通方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，由极坐标与直角坐标的互化公式得C的极坐标方程．
（2）当$α=\frac{π}{3}$时，直线的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$，把直线的参数方程代入椭圆方程化为：13t²+56t+48=0，利用|AB=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$即可得出．

解答 解：（1）曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）的参数方程为普通方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，由极坐标与直角坐标的互化公式得C的极坐标方程为：ρ²cos²θ+4ρ²sin²θ=4，即ρ²=$\frac{4}{1+3si{n}^{2}θ}$．
（2）当$α=\frac{π}{3}$时，直线的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$，
把直线的参数方程代入$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，化为：13t²+56t+48=0，
∴t₁+t₂=-$\frac{56}{13}$，t₁t₂=$\frac{48}{13}$．
∴|AB=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\frac{8\sqrt{10}}{13}$．

点评 本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化、椭圆的参数方程与直角坐标方程、直线参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．