Question

【题目】已知函数f（x）=kax-a-x（a＞0且a≠1）是R上的奇函数．

（Ⅰ）求常数k的值；

（Ⅱ）若a＞1，试判断函数f（x）的单调性，并加以证明；

（Ⅲ）若a=2，且函数g（x）=a2x+a-2x-2mf（x）在[0，1]上的最小值为1，求实数m的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）k=1； （Ⅱ）见解析； （Ⅲ）m=1.

【解析】

（Ⅰ）根据定义域为R上的奇函数满足f（0）=0，代入即可求得k的值。

（Ⅱ）利用定义法，设出x1、x2，通过做差法判断与0的大小关系即可证明单调性。

（Ⅲ）将a的值代入表达式，化简即可得g（x）=（2x-2-x）2-2m（2x-2-x）+2，利用换元法令t=2x-2-x，由x的范围求得t的范围。将x的函数转化为关于t的二次函数，构造h（t）=（t-m）2+2-m2，讨论m的取值范围，进而利用最小值求得m的值。

（Ⅰ）根据题意，函数f（x）=kax-a-x（a＞0且a≠1）是R上的奇函数，

则f（0）=k-1=0，解可得k=1，

当k=1时，f（x）=ax-a-x，为奇函数，

故k=1.

（Ⅱ）根据题意，设x1＜x2，

f（x1）-f（x2）=（-）-（-）=（-）（1+），

又由x1＜x2，

则（-）＜0，（1+）＞0，

则f（x1）-f（x2）＜0，

故函数f（x）为R上的增函数；

（Ⅲ）根据题意，若a=2，则函数g（x）=a2x+a-2x-2mf（x）

=22x+2-2x-2m（2x-2-x）

=（2x-2-x）2-2m（2x-2-x）+2，

令t=2x-2-x，又由x∈[0，1]，则t∈[0，]，

则h（t）=t2-2mt+2=（t-m）2+2-m2，t∈[0，]，

①，当m≤0时，h（t）min=h（0）=2≠1，不符合题意；

②，当0＜m＜，h（t）min=h（m）=2-m2=1，

解可得m=±1，

又由0＜m＜，则m=1；

③，当m≥时，h（t）min=h（）=-3m=1，

解可得m=＜，不符合题意，

综合可得：m=1．