【题目】已知函数f(x)=kax-a-x(a>0且a≠1)是R上的奇函数.
(Ⅰ)求常数k的值;
(Ⅱ)若a>1,试判断函数f(x)的单调性,并加以证明;
(Ⅲ)若a=2,且函数g(x)=a2x+a-2x-2mf(x)在[0,1]上的最小值为1,求实数m的值.
【答案】(Ⅰ)k=1; (Ⅱ)见解析; (Ⅲ)m=1.
【解析】
(Ⅰ)根据定义域为R上的奇函数满足f(0)=0,代入即可求得k的值。
(Ⅱ)利用定义法,设出x1、x2,通过做差法判断与0的大小关系即可证明单调性。
(Ⅲ)将a的值代入表达式,化简即可得g(x)=(2x-2-x)2-2m(2x-2-x)+2,利用换元法令t=2x-2-x,由x的范围求得t的范围。将x的函数转化为关于t的二次函数,构造h(t)=(t-m)2+2-m2,讨论m的取值范围,进而利用最小值求得m的值。
(Ⅰ)根据题意,函数f(x)=kax-a-x(a>0且a≠1)是R上的奇函数,
则f(0)=k-1=0,解可得k=1,
当k=1时,f(x)=ax-a-x,为奇函数,
故k=1.
(Ⅱ)根据题意,设x1<x2,
f(x1)-f(x2)=(-
)-(
-
)=(
-
)(1+
),
又由x1<x2,
则(-
)<0,(1+
)>0,
则f(x1)-f(x2)<0,
故函数f(x)为R上的增函数;
(Ⅲ)根据题意,若a=2,则函数g(x)=a2x+a-2x-2mf(x)
=22x+2-2x-2m(2x-2-x)
=(2x-2-x)2-2m(2x-2-x)+2,
令t=2x-2-x,又由x∈[0,1],则t∈[0,],
则h(t)=t2-2mt+2=(t-m)2+2-m2,t∈[0,],
①,当m≤0时,h(t)min=h(0)=2≠1,不符合题意;
②,当0<m<,h(t)min=h(m)=2-m2=1,
解可得m=±1,
又由0<m<,则m=1;
③,当m≥时,h(t)min=h(
)=
-3m=1,
解可得m=<
,不符合题意,
综合可得:m=1.
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【题目】借助计算机(器)作某些分段函数图象时,分段函数的表示有时可以利用函数,例如要表示分段函数g(x)=
总可以将g(x)表示为g(x)=xh(x-2)+(-x)h(2-x).
(1)设f(x)=(x2-2x+3)h(x-1)+(1-x2)h(1-x),请把函数f(x)写成分段函数的形式;
(2)已知G(x)=[(3a-1)x+4a]h(1-x)+logaxh(x-1)是R上的减函数,求a的取值范围;
(3)设F(x)=(x2+x-a+1)h(x-a)+(x2-x+a+1)h(a-x),求函数F(x)的最小值.
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【题目】已知函数f(x)=(k∈R)
(Ⅰ)若该函数是偶函数,求实数k及f(log32)的值;
(Ⅱ)若函数g(x)=x+log3f(x)有零点,求k的取值范围.
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【题目】已知抛物线关于
轴对称,顶点在坐标原点
,直线
经过抛物线
的焦点.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)若不经过坐标原点的直线
与抛物线
相交于不同的两点
,
,且满足
,证明直线
过
轴上一定点
,并求出点
的坐标.
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【题目】已知椭圆C: =1过点A(2,0),B(0,1)两点.
(1)求椭圆C的方程及离心率;
(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证:四边形ABNM的面积为定值.
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