Question

在学习完统计学知识后，两位同学对所在年级的1200名同学一次数学考试成绩作抽样调查，两位同学采用简单随机抽样方法抽取100名学生的成绩，并将所选的数学成绩制成如统计表，设本次考试的最低期望分数为90分，优等生最低分130分，并且考试成绩分数在[85，90）的学生通过自身努力能达到最低期望分数．
（Ⅰ）求出各分数段的频率并作出频率分布直方图；
（Ⅱ）用所抽学生的成绩在各个分数段的频率表示概率，请估计该校学生数学成绩达到最低期望的学生分数和优等生人数；
（Ⅲ）设考试成绩在[85，90）的学生成绩如下：80，81，83，84，86，89，从分数在[85，90）的学生中抽取2人出来检查数学知识的掌握情况，记所抽取学生中通过自身努力达到最低期望分数的人数为ξ，求ξ的分布列和期望．

分数段	[70，80）	[80，90）	[90，100）	[100，110）	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150）
人数	9	6	12	18	21	16	12	6
频率

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,频率分布直方图

专题：计算题,概率与统计

分析：（Ⅰ）利用各分数段的人数除以100，可得各分数段的频率，从而可得频率分布直方图；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知达到最低期望的频率为0.85，优等生的频率为0.18，从而可求该校学生数学成绩达到最低期望的学生分数和优等生人数；
（Ⅲ）ξ的可能取值为0，1，2，分别求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2）．由此能求出ξ的分布列及数学期望Eξ．

解答： 解：（Ⅰ）利用各分数段的人数除以100，可得各分数段的频率．

分数段	[70，80）	[80，90）	[90，100）	[100，110）	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150）
人数	9	6	12	18	21	16	12	6
频率	0.09	0.06	0.12	0.18	0.21	0.16	0.12	0.06

频率分布直方图，如图所示
；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知达到最低期望的频率为0.85，优等生的频率为0.18，
∴最低期望的学生为1200×0.85=1020，优等生人数为1200×0.18=216；
（Ⅲ）ξ的所有可能取值为0，1，2，则
P（ξ=0）=

C 0 2 C 2 4

C 2 6

=

2

5

，P（ξ=1）=

C 1 2 C 1 4

C 2 6

=

8

15

，P（ξ=2）=

C 2 2 C 0 4

C 2 6

=

1

15

．
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2
P	2 5	8 15	1 15

…（8分）
E（ξ）=0×

2

5

+1×

8

15

+2×

1

15

=

2

3

．…（12分）

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，考查概率的计算，考查学生分析解决问题的能力，注意频率分布直方图的合理运用．