Question

已知F₁、F₂分别是椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P是椭圆E上的点，以F₁P为直径的圆经过F₂，

PF1

•

PF2

=

1

16

a2．直线l经过F₁，与椭圆E交于A、B两点，F₂与A、B两点构成△ABF₂．
（1）求椭圆E的离心率；
（2）设△F₁PF₂的周长为2+

3

，求△ABF₂的面积S的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意，F₂P⊥x轴，利用

PF1

•

PF2

=

1

16

a2，可得|F₁P|=

7

4

a，结合勾股定理，即可求椭圆E的离心率；
（2）根据△F₁PF₂的周长为2+

3

，求出椭圆的方程，设出AB方程代入椭圆方程，整理，利用韦达定理，表示出三角形的面积，换元，即可求△ABF₂的面积S的最大值．

解答： 解：（1）由题意，F₂P⊥x轴，
∵

PF1

•

PF2

=

1

16

a2，
∴由向量的数量积公式可得|F₂P|=

a

4

，
∴|F₁P|=

7

4

a，
∴（

7

4

a）²=（

a

4

）²+（2c）²，
∴e=

c

a

=

3

2

，
（2）∵△ABF₂的周长为2+

3

，
∴2a+2c=2+

3

，
∵

c

a

=

3

2

，
∴a=1，c=

3

2

，
∴b=

1

2

，
∴椭圆的方程为x2+

y2

1 4

=1
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
斜率不存在时，方程为x=-

3

2

，∴△ABF₂的面积为

3

4

，．
斜率存在时，设AB方程为y=k（x+

3

2

），
代入椭圆方程，整理可得（1+4k²）x²+4

3

k²x+3k²-1=0，
∴x₁+x₂=-

4 3 k2

1+4k2

，x₁x₂=

3k2-1

1+4k2

，
∴△ABF₂的面积为S=

1

2

|F₁F₂||y₁-y₂|=

3

•

k2+1

1+4k2

•|k|，
令t=k²+1（t≥1），则S²=

3t(t-1)

(4t-3)2

，
令m=4t-3（m≥1），则S²=-

9

16

(

1

m

-

1

3

)2+

1

4

当且仅当m=3，即k=±

2

2

时取等号，
∴△ABF₂的面积的最大值为

1

2

．
综上，△ABF₂的面积的最大值为

1

2

．

点评：本题考查椭圆的几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．