Question

已知函数f（x）=ax²+x-xlnx，
（1）若a=0，求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（1）=2，且在定义域内f（x）≥bx²+2x恒成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求导数，利用导数的正负，即可求函数f（x）的单调区间；
（2）由已知，求得f（x）=x²+x-xlnx．将不等式f（x）≥bx²+2x恒成立转化为b≤1-

1

x

-

lnx

x

恒成立．构造函数g(x)=1-

1

x

-

lnx

x

，只需b≤g（x）min即可，因此又需求g（x）min．

解答： 解：（1）当a=0时，f（x）=x-xlnx，函数定义域为（0，+∞）．
f'（x）=-lnx，由-lnx=0，得x=1．-------------（3分）
x∈（0，1）时，f'（x）＞0，f（x）在（0，1）上是增函数．x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）在（1，+∞）上是减函数；-------------（6分）
（2）由f（1）=2，得a+1=2，∴a=1，∴f（x）=x²+x-xlnx，
由f（x）≥bx²+2x，得（1-b）x-1≥lnx，
又∵x＞0，∴b≤1-

1

x

-

lnx

x

恒成立，-------------（9分）
令g(x)=1-

1

x

-

lnx

x

，可得g′(x)=

lnx

x2

，∴g（x）在（0，1]上递减，在[1，+∞）上递增．
∴g（x）_min=g（1）=0
即b≤0，即b的取值范围是（-∞，0]．----------（12分）

点评：本题考查导数知识的应用，考查学生会利用导函数的正负确定函数的单调区间，掌握函数恒成立时所取的条件，是一道综合题．