Question

如图所示，PA为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B，C两点，PA=20，PB=10，∠BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E．
（Ⅰ）求证AB•PC=PA•AC
（Ⅱ）求AD•AE的值．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：直线与圆

分析：（1）由已知条件推导出△PAB∽△PCA，由此能够证明AB•PC=PA•AC．
（2）由切割线定理求出PC=40，BC=30，由已知条件条件推导出△ACE∽△ADB，由此能求出AD•AE的值．

解答： （1）证明：∵PA为圆O的切线，
∴∠PAB=∠ACP，又∠P为公共角，
∴△PAB∽△PCA，
∴

AB

AC

=

PA

PC

，
∴AB•PC=PA•AC．…（4分）
（2）解：∵PA为圆O的切线，BC是过点O的割线，
∴PA²=PB•PC，
∴PC=40，BC=30，
又∵∠CAB=90°，∴AC²+AB²=BC²=900，
又由（1）知

AB

AC

=

PA

PC

=

1

2

，
∴AC=12

5

，AB=6

5

，
连接EC，则∠CAE=∠EAB，
∴△ACE∽△ADB，∴

AB

AE

=

AD

AC

，
∴AD•AE=AB•AC=6

5

×12

5

=360．（10分）

点评：本题考查三角形相似的证明和应用，考查线段乘积的求法，是中档题，解题时要注意切割线定理的合理运用．